Funzioni sommabili

[G.G211]

Un esercizio mi chiede di dimostrare se queste funzioni sono sommabili:

$ f(x,y)=sum_(n=1)^(oo)((2xy)^(n))/n $ con $(x,y)$ appartenenti al disco di centro $(0,0)$ e raggio unitario

$ f(x,y)=sum_(n=1)^(oo)((x^(2)+y^(2))^n)/n $ con $(x,y)$ appartenenti al disco di centro $(0,0)$ e raggio unitario

ma io non ho idea di come fare, forse dovrei dimostrare che sono funzioni non negative e misurabili, ma non capisco come muovermi..qualcuno può darmi una mano? Grazie mille!

[ciampax]

Ma tu sei sicuro della richiesta? Mi sembra strano che non ti specifichi un insieme o altro (perché, obbiettivamente, non mi sembrano sommabili dappertutto). Forse la richiesta è quella di determinare quando convergono quelle serie e quale ne sia la somma?

Edit: ah ecco.

[G.G211]

Si scusa mi ero dimenticata di scrivere il dominio.
Forse potrei fare così:
Per quanto riguarda la prima non è sommabile perchè non è non negativa in quanto assume anche valori negativi.
Per quanto riguarda invece la seconda è sommabile perchè è non negativa e, essendo continua e definita su un insieme misurabile, è misurabile..
Giusto? è questo il metodo da utilizzare?

[Andrea2976]

Perché mai?

"G.G":
Per quanto riguarda la prima non è sommabile perchè non è non negativa in quanto assume anche valori negativi.

Ti consiglio di riportarti come esempio alla funzione $f(x)=\sum_{n>0}\frac{x^n}{n}$ che converge per ogni $0 \le |x| <1$.

Perché mai?

"G.G":
Per quanto riguarda invece la seconda è sommabile perchè è non negativa e, essendo continua e definita su un insieme misurabile, è misurabile.

Come prima. Devi dimostare che la serie converge, al massimo il problema lo avrai sul bordo.

Aggiungo un aiuto per la seconda, sul tuo dominio $x^2+y^2 \le 1$ quindi se $x^2+y^2 \le 1-\epsilon$ (cioè l'interno del cerchio) la serie converge.

Aggiungo ulteriore generico aiuto, usa coordinate polari.