Funzioni simmetriche elementari

[fabry1985mi]

Ragazzi sono disperato con la dimostrazione di un teorema sulla reoria dei numeri: si tratta del teorema di Viggo Brun sul fatto che la serie dei reciproci dei primi gemelli converge. Fra le tantissimi nozioni che non conosco, c'è quella di n-esima funzione simmetrica elementare. Più in dettaglio ho questo lemma in cui si dice:

sia $S_n$ la $n$-esima funzione simmetrica elementare degli $s$ numeri positivi $x_1, ..., x_s$ con $1<=n<=s$, allora:

$S_n<=(S_1^n)/(n!)$

Indipendentemente dal fatto che non saprei come dimostrare questo fatto, vorrei almeno capire cosa sia $S_n$ e spero qualcuno sappia aiutarmi, così poi (magari) saprò procedere con la dimostrazione.

Grazie mille!

[fabry1985mi]

Ma proprio nessuno sa nulla? Qualunque piccola cosa potrebbe essere già utile per iniziare.

[fabry1985mi]

Allora sembra che proprio nessuno possa aiutarmi...

[pic2]

Allora, la prima funzione simmetrica elementare è
$x_1+x_2+...+x_s$
La seconda è
$\sum_{i
Diciamo che l'n-esima è, a meno del segno, il coefficiente di grado $s-n$ del polinomio $(x-x_1)...(x-x_s)$.

[fabry1985mi]

"pic":Allora, la prima funzione simmetrica elementare è
$x_1+x_2+...+x_s$
La seconda è
$\sum_{i
Diciamo che l'n-esima è, a meno del segno, il coefficiente di grado $s-n$ del polinomio $(x-x_1)...(x-x_s)$.

Grazie infinite!
Quindi $S_{n}(x_1, ..., x_r)=\sum_{k=1}^rx_{k_1}* ... * x_{k_r}$ con $k_1<...

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[Sk_Anonymous]

A mio avviso la cosa si può dimostrare così.
Per una nota formula si ha che:
(0) $S_1^n=(x_1+x_2+...+x_s)^n=sum(n!)/(n_1!*n_2!*...*n_s!)*x_1^(n_1)*x_2^(n_2)*...*x_s^(n_s)$
dove la somma è estesa a tutte la soluzioni intere non negative dell'equazione
(1) $n_1+n_2+...+n_s=n$
Risulta poi :
$S_n=sum x_1^(n_1)*x_2^(n_2)*...*x_s^(n_s)$ essendo la somma estesa a tutte le soluzione della (1) del tipo $n_i=1$ opure $n_i=0$
E' quindi evidente che $S_n$ è presente nella $S_1^n$ e precisamente,poiché in questo caso è $n_i! =1$ ,in base alla (0) lo è per n! volte .
Tenuto conto che in $S_1^n$ sono presenti altri termini ( la cui somma sia S), si può scrivere che :
$S_1^n=n!*S_n+S$ e da qui segue chiaramente $S_1^n>=n!*S_n$ che è la tesi,Credo che l'eguaglianza si possa verificare solo se tutti gli $x_i$ sono nulli ( cosa esclusa dalla traccia).
Per chiarire tutta la situazione faccio un esempio concreto con n=3 ,s=4
Abbiamo:
$(x_1+x_2+x_3+x_4)^3=$
$x_1^3 + x_2^3+x_3^3+x_4^3+3x_1^2 x_2+ 3x_1^2 x_3+3x_1^2 x_4 + 3x_1x_2^2 + 3x_2^2x_3 + 3x_2^2x_4 +3x_1 x_3^2 + 3x_2x_3^2 +3x_3^2x_4 + 3x_1x_4^2 + 3x_2 x_4^2 + 3x_3x_4^2+6x_1x_2x_3+ 6x_1x_2x_4 +6x_1x_3x_4+ 6x_2x_3x_4 $
Oppure:
$(x_1+x_2+x_3+x_4)^3=$
$(x_1^3 + x_2^3+x_3^3+x_4^3+3x_1^2 x_2+ 3x_1^2 x_3+3x_1^2 x_4 + 3x_1x_2^2 + 3x_2^2x_3 + 3x_2^2x_4 +3x_1 x_3^2 + 3x_2x_3^2 +3x_3^2x_4 + 3x_1x_4^2 + 3x_2 x_4^2 + 3x_3x_4^2)+6(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4 +x_1x_3x_4+ x_2x_3x_4 ) $
E in definitiva:
$S_1^3=S+3!*S_3$