Funzioni razionali proprie ed improprie
Salve a tutti,
Vorrei chiedere quali sarebbero delle possibili manipolazioni algebriche per passare da una funzione razionale con numeratore e denominatore caratterizzati da polinomi dello stesso grado ad una funzione razionale in cui il grado del numeratore è minore di quello del denominatore.
In poche parole, non so qual'è il procedimento per passare da:
$\frac{b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0}=F(s)$
ad una forma del tipo:
$\frac{b_n}{a_n}+\frac{\beta_{n-1}s^{n-1}+...+\beta_0}{s^n+\alpha_{n-1}s^{n-1}+...+\alpha_0}=F(s)$
Vorrei chiedere quali sarebbero delle possibili manipolazioni algebriche per passare da una funzione razionale con numeratore e denominatore caratterizzati da polinomi dello stesso grado ad una funzione razionale in cui il grado del numeratore è minore di quello del denominatore.
In poche parole, non so qual'è il procedimento per passare da:
$\frac{b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0}=F(s)$
ad una forma del tipo:
$\frac{b_n}{a_n}+\frac{\beta_{n-1}s^{n-1}+...+\beta_0}{s^n+\alpha_{n-1}s^{n-1}+...+\alpha_0}=F(s)$
Risposte
Con la divisione tra polinomi te la caveresti sempre, anche se in grado del numeratore fosse più alto di quello del denominatore.
$(P(x))/(D(x))=Q(x)+(R(x))/(D(x))$ dove $Q(x)$ è il quoziente della divisione $P(x) : D(x)$ e $R(x)$ è il resto della stessa divisione.
Per il caso di numeratore e denominatore con lo stesso grado, però, si può procedere anche senza divisione
Per farmi capire meglio ti posto un esempio
$(3x^2+4x-5)/(2x^2+x-3)=$ moltiplico numeratore e denominatore per un fattore in modo che i termini di secondo grado abbiano lo stesso coefficiente
$=3/2*(6x^2+8x-10)/(6x^2+3x-9)=$ ovviamente per mantenere l'uguaglianza ho posto davanti alla frazione un coefficiente, adesso a numeratore completo il denominatore
$= 3/2* ((6x^2+3x-9)-3x+9+8x-10)/(6x^2+3x-9)=$ separo il numeratore in due frazioni
$=3/2*[(6x^2+3x-9)/(6x^2+3x-9)+(5x-1)/(6x^2+3x-9)]=3/2*[1+(2*(5/2x-1/2))/(3*(2x^2+x-3))]=3/2+(5/2x+1/2)/(2x^2+x-3)$
La cosa funziona in generale, ma mi sembrava più semplice operare con un esempio.
$(P(x))/(D(x))=Q(x)+(R(x))/(D(x))$ dove $Q(x)$ è il quoziente della divisione $P(x) : D(x)$ e $R(x)$ è il resto della stessa divisione.
Per il caso di numeratore e denominatore con lo stesso grado, però, si può procedere anche senza divisione
Per farmi capire meglio ti posto un esempio
$(3x^2+4x-5)/(2x^2+x-3)=$ moltiplico numeratore e denominatore per un fattore in modo che i termini di secondo grado abbiano lo stesso coefficiente
$=3/2*(6x^2+8x-10)/(6x^2+3x-9)=$ ovviamente per mantenere l'uguaglianza ho posto davanti alla frazione un coefficiente, adesso a numeratore completo il denominatore
$= 3/2* ((6x^2+3x-9)-3x+9+8x-10)/(6x^2+3x-9)=$ separo il numeratore in due frazioni
$=3/2*[(6x^2+3x-9)/(6x^2+3x-9)+(5x-1)/(6x^2+3x-9)]=3/2*[1+(2*(5/2x-1/2))/(3*(2x^2+x-3))]=3/2+(5/2x+1/2)/(2x^2+x-3)$
La cosa funziona in generale, ma mi sembrava più semplice operare con un esempio.
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