Funzioni Razionali in $\mathbb{C}$

[Gost91]

Se $f(z):\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ è una funzione razionale, ossia rapporto di polinomi, a coefficienti reali allora sono vere le seguenti uguagliannze?

\[|f(z^*)|=|f(z)|\]
\[\angle f(z^*)=-\angle f(z)\]

dove $*$ è l'operatore di coniugazione e $\angle$ è l'operatore fase.

[gugo82]

Beh, prova a fare due conti... Casomai, comincia a ragionare sui polinomi, così il passaggio alle razionali diventa semplice.

[Gost91]

Ci provo, partendo dalla relazione sui moduli nel caso polinomiale.

Dunque, l'espressione generica di un polinomio a coefficienti reali \(a_k\) è
\[f(z)=\sum_{k=0}^N a_k z^k=a_N\prod_{k=0}^N (z-z_k)\]
dove ho indicato con \(z_k\) gli zeri (eventualmente ripetuti) del polinomio. Segue immediatamente che
\[\begin{aligned}|f(z)|=|a_N|\prod_{k=0}^N |z-z_k|, \quad |f(z^*)|=|a_N|\prod_{k=0}^N |z^*-z_k| \end{aligned}\]
Se il generico \(z_k\) è reale allora segue immediatamente che \(|z-z_k|=|z^*-z_k|\). Se invece \(z_k\) non è reale allora \(|z-z_k|\neq|z^*-z_k|\). Tuttavia, essendo i coefficienti \(a_k\) reali, si ha che se \(z_k\) è zero per il polinomio \(f(z)\) allora anche il suo coniugato \(z_k^*\) è zero per il polinomio \(f(z)\). Questo significa che all'interno della fattorizzazione di \(f(z)\) sono presenti coppie di termini del tipo \(|z-z_k|,|z-z_k^*|\) il cui prodotto è pari a \(|z^*-z_k||z^*-z_k^*|\), in quanto
\[|z-z_k|=|z^*-z_k^*|, \quad |z-z_k^*|=|z^*-z_k| \]
quindi concludo che \(|f(z)|=|f(z^*)|\).

Per ora è tutto corretto?