Funzioni rapidamente decrescenti

[newman1]

Ciao, qualcuno mi può spiegare cosa sono le funzioni rapidamente decrescenti?
Grazie, Andrea.

[newman1]

Ho cercato nel forum e in internet ma non ho trovato niente sull'argomento. Questo insieme di funzioni viene introdotto per definire le distribuzioni temperate, ma non ho capito le caratteristiche che deve avere.

[gugo82]

Hai provato a guardare sul tuo libro di testo?
(Forum ed internet, di norma, non sono la migliore fonte di riferimento quando si parla di materiale da esame.)

[newman1]

ovviamente si ma c'è un errore di stampa ed è omessa la seconda condizione. La prima è che f appartiene a C infinito.

[gugo82]

Di solito si dice che \(u\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^N)\) se sono soddisfatte le due condizioni:

[*:28h3gppc] \(u\in C^\infty (\mathbb{R}^N)\),

[/*:m:28h3gppc]
[*:28h3gppc] per ogni coppia di multiindici \(\alpha,\ \beta \in \mathbb{N}^N\), si ha:
\[
\sup_{\mathbb{R}^N} |x^\alpha \partial^\beta u(x)| <+\infty\; ,
\][/*:m:28h3gppc][/list:u:28h3gppc]
ove, come si usa di solito, ho posto:
\[
\partial^\beta u (x) := \frac{\partial^{|\beta|} u}{\partial x_1^{\beta_1}\partial x_2^{\beta_2}\cdots \partial x_N^{\beta_N}} (x)\; .
\]
Ovviamente si ha \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N) \subseteq \mathcal{S} (\mathbb{R}^N)\); tuttavia l'inclusione è stretta, in quanto la funzione:
\[
u(x):=\exp (-|x|^2)
\]
è in \(\mathcal{S} (\mathbb{R}^N)\) e non ha supporto compatto.