Funzioni pseudo-convesse e flessi orizzontali

[Riccardo_91]

Salve a tutti, passerò subito al dunque. Affrontando la risoluzione di problemi d'ottimizzazione monodimensionali mi sono trovato di fronte alla definizione di funzione pseudo-convessa, data nel modo seguente:

$ f: S \subset E^n \rightarrow E $ è pseudo-convessa, se differenziabile in $ S $ e $ \forall x_1,x_2 \in S $ risulta:

$ \nabla f(x_1)^{T}(x_2 - x_1) \geq 0 \Rightarrow f(x_2) - f(x_1) \geq 0 $

Ossia : $ f(x_2) - f(x_1) < 0 \Rightarrow \nabla f(x_1)^{T}(x_2 - x_1) < 0 $

L'autore pone l'attenzione sul fatto che una tale funzione non possa presentare flessi a tangente orizzontale, così che tali condizioni si traducano in punti di minimo per la funzione. Non sono tuttavia d'accordo, mi basta considerare tale contro-esempio:

$ f(x) = x^3 $
$ f'(x) = 3x^2 $ (funzione ovviamente monotonicamente crescente)
$ f''(x) = 6x $ (cambio di concavità in 0, che è pertanto un punto a tangente orizzontale)

La funzione risulta essere pseudo-convessa in quanto presi $ x,y $ risulta :

$ 3x^2(y-x) \geq 0 $ se $ y \geq x $
$ f(y) - f(x) = y^3 - x^3 \geq 0 $ se $ y \geq x $

Da cui è facile capire che se $ f(y) - f(x) < 0 $ risulta $ f'(x)(y-x) < 0 $.

Vorrei tuttavia anche un altro parere, grazie in anticipo.