Funzioni potenza
salve a tutti,
sto studiando analisi 1. nel capitolo riguardante le funzioni potenza c'è scritto che: " per le funzioni potenza a esponente reale (ma non razionale ) f(x) non è definita per x<0. Precisamente f(x)=kx^a è definita per x>=0 se a>0 e per x>0 se a<0".
non riesco a capire perche non sono definite per x<0?
(-3^3= -27 quindi è definita per x<0 ?).
Ps: mi consigliate anche qualche buon libro dove analisi 1 viene spiegata in modo semplice e chiaro e non solo con definizioni che non si sa come applicarle negli esercizi.
Grazie.
sto studiando analisi 1. nel capitolo riguardante le funzioni potenza c'è scritto che: " per le funzioni potenza a esponente reale (ma non razionale ) f(x) non è definita per x<0. Precisamente f(x)=kx^a è definita per x>=0 se a>0 e per x>0 se a<0".
non riesco a capire perche non sono definite per x<0?
(-3^3= -27 quindi è definita per x<0 ?).
Ps: mi consigliate anche qualche buon libro dove analisi 1 viene spiegata in modo semplice e chiaro e non solo con definizioni che non si sa come applicarle negli esercizi.
Grazie.
Risposte
Non è vero, gli esponenziali sono definiti in tutto $RR$.
Il fatto che $(-3)^{3}$ sia definita non contraddice l'affermazione che hai riportato in quanto l'esponente è razionale (nell'affermazione è specificato che l'esponente deve essere reale ma non razionale).
Per DEFINIZIONE la funzione $x^{\alpha}$ con $\alpha\in RR\setminus QQ$ è definita solo per $x>0$. Questo perché le potenze ad esponente reale non razionale si definiscono usando il concetto di limite e la definizione di esponenziale e logaritmo. Infatti si può sempre scrivere $x^\alpha=e^{\alpha\ln x}$ e, come è noto, il logaritmo è definito solo per $x>0$. Il fatto che $(-3)^3=-27$ è un semplice calcolo aritmetico ed è legato al fatto che le potenze a esponente naturale, intero o razionale hanno una definizione costruttiva. Ti faccio presente però che, ad esempio, $x^{1/{2n}}$ (la radice di indice pari) è definita per $x\ge 0$, quindi in generale le potenze (non gli esponenziali... la funzione esponenziale è del tipo $a^x$!) possono anche non essere definite su tutto $RR$.
Solo a titolo di completezza, vorrei aggiungere che tuttavia le potenze del tipo $a^b$ con $a$ reale qualunque non nullo e $b$ reale qualunque trovano una definizione nel campo dei numeri complessi.
Ciò deriva appunto, come mostrava ciampax, dalla possibilità di scrivere $a^b=e^{b\log a}$ e definendo il logaritmo come la funzione inversa dell'esponenziale, tenendo presente che se $\alpha\in\mathbb{R}$ vale $e^{i\alpha}=\cos\alpha + i\sin\alpha$.
Ciò deriva appunto, come mostrava ciampax, dalla possibilità di scrivere $a^b=e^{b\log a}$ e definendo il logaritmo come la funzione inversa dell'esponenziale, tenendo presente che se $\alpha\in\mathbb{R}$ vale $e^{i\alpha}=\cos\alpha + i\sin\alpha$.
grazie a tutti per le risposte...
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