Funzioni periodiche
Sia $f(x),$ $x in RR,$ $2pi$ periodica e pari definita da $f(x)=|x|/4$ $x in [-pi,0]
a)disegnare (in modo approssimativo) il grafico di f(x)
b)trovare la serie di fourier
Tralasciando per ora la serie di fourier che mi sembra abbastanza complessa da calcolare, non so come tracciare il grafico approssimativo.
So che è $2pi$ periodica quindi ripete il suo andamento ogni periodo, la x può essere al massimo 0 al minimo $-pi$, ma non so come tracciarla.
Potete consigliarmi del materiale da visionare o è una cosa che posso capire facilmente?
a)disegnare (in modo approssimativo) il grafico di f(x)
b)trovare la serie di fourier
Tralasciando per ora la serie di fourier che mi sembra abbastanza complessa da calcolare, non so come tracciare il grafico approssimativo.
So che è $2pi$ periodica quindi ripete il suo andamento ogni periodo, la x può essere al massimo 0 al minimo $-pi$, ma non so come tracciarla.
Potete consigliarmi del materiale da visionare o è una cosa che posso capire facilmente?
Risposte
Visto che in [tex]$[-\pi, 0]$[/tex] si ha [tex]$|x|=-x$[/tex] ed [tex]f(x)=-\frac{x^2}{4}[/tex], la restrizione di [tex]$f(x)$[/tex] a [tex]$[-\pi ,0]$[/tex] ha il grafico che è un arco di parabola con vertice in [tex]$(0,0)$[/tex] e concava, ossia:
[asvg]xmin=-4;xmax=0; ymin=-3; ymax=1;
axes("","");
plot("-0.25*x^2",-3.14,0);[/asvg]
Ora devi prolungare [tex]$f(x)$[/tex] in modo da renderla pari: ciò significa che devi trovare un espressione [tex]$\phi (x)$[/tex] in [tex]$[0,\pi]$[/tex] tale che [tex]$\phi (x)=f(-x)$[/tex]... Ma ciò importa che [tex]\phi (x)=-\frac{x^2}{4}[/tex]; graficamente, basta ribaltare il grafico di [tex]$f(x)$[/tex] rispetto all'asse [tex]$y$[/tex], ottenendo quindi un grafico del genere:
[asvg]xmin=-4;xmax=4; ymin=-3; ymax=1;
axes("","");
plot("-0.25*x^2",-3.14,0);
stroke="red"; plot("-0.25*x^2",0,3.14);[/asvg]
Ora devi prolungare il tutto in modo da rendere la funzione di cui hai appena tracciato il grafico periodica di periodo [tex]$2\pi$[/tex]: ma ciò si fa graficamente ripetendo il grafico precedente in ogni intervallo precedente e successivo a [tex]$[-\pi, \pi]$[/tex]:
[asvg]xmin=-10;xmax=10; ymin=-3; ymax=1;
axes("","");
plot("-0.25*x^2",-3.14,0);
stroke="red"; plot("-0.25*x^2",0,3.14);
stroke="blue"; plot("-0.25*(x+6.28)^2",-9.42,-3.14); plot("-0.25*(x-6.28)^2",3.14,9.42); plot("-0.25*(x+12.56)^2",-16,-9.42); plot("-0.25*(x-12.56)^2",9.42,16);[/asvg]
La serie di Fourier si calcola facile se hai studiato la teoria delle distribuzioni; altrimenti ti tocca fare tutti i conti dei coefficienti a mano.
[asvg]xmin=-4;xmax=0; ymin=-3; ymax=1;
axes("","");
plot("-0.25*x^2",-3.14,0);[/asvg]
Ora devi prolungare [tex]$f(x)$[/tex] in modo da renderla pari: ciò significa che devi trovare un espressione [tex]$\phi (x)$[/tex] in [tex]$[0,\pi]$[/tex] tale che [tex]$\phi (x)=f(-x)$[/tex]... Ma ciò importa che [tex]\phi (x)=-\frac{x^2}{4}[/tex]; graficamente, basta ribaltare il grafico di [tex]$f(x)$[/tex] rispetto all'asse [tex]$y$[/tex], ottenendo quindi un grafico del genere:
[asvg]xmin=-4;xmax=4; ymin=-3; ymax=1;
axes("","");
plot("-0.25*x^2",-3.14,0);
stroke="red"; plot("-0.25*x^2",0,3.14);[/asvg]
Ora devi prolungare il tutto in modo da rendere la funzione di cui hai appena tracciato il grafico periodica di periodo [tex]$2\pi$[/tex]: ma ciò si fa graficamente ripetendo il grafico precedente in ogni intervallo precedente e successivo a [tex]$[-\pi, \pi]$[/tex]:
[asvg]xmin=-10;xmax=10; ymin=-3; ymax=1;
axes("","");
plot("-0.25*x^2",-3.14,0);
stroke="red"; plot("-0.25*x^2",0,3.14);
stroke="blue"; plot("-0.25*(x+6.28)^2",-9.42,-3.14); plot("-0.25*(x-6.28)^2",3.14,9.42); plot("-0.25*(x+12.56)^2",-16,-9.42); plot("-0.25*(x-12.56)^2",9.42,16);[/asvg]
La serie di Fourier si calcola facile se hai studiato la teoria delle distribuzioni; altrimenti ti tocca fare tutti i conti dei coefficienti a mano.
ti ho perso subito, allora hai detto che se $x in [-pi,0]$ giustamente assumerà sempre valori negativi o al massimo sarà uguale a 0;
poi non capisco perche la funzione di partenza che era $f(x)=|x|/4$ diventa $f(x)=-x^2/4$
poi non capisco perche la funzione di partenza che era $f(x)=|x|/4$ diventa $f(x)=-x^2/4$
perchè lui ha capito che la x che tu hai scritto per dire appartiene a 0, pi greco moltiplichi la frazione col modulo sopra...
Non capisco come trasformi $f(x)=|x|/2$ in $f(x)=-x^2/4$ che regola segui?
Al di là di questo, ti dico come procedo, una volta che ho la forma finale della funzione
incomincio a tracciarla assegnando valori alla x (ovviamente appartendenti al suo dominio), una volta tracciata fino l'ultimo punto ($-pi$ in questo caso)
la riproduco a specchio dall'altra parte ottendendo così una funzione $2pi$ periodica; e poi la ripeto tante volte.
1)Sulla notazioen $ x in [-pi,0]$ da $-pi$ a 0 estremi inclusi?
2)Quando la funzione è dispari uso un altro metodo per tracciarla?
Al di là di questo, ti dico come procedo, una volta che ho la forma finale della funzione
incomincio a tracciarla assegnando valori alla x (ovviamente appartendenti al suo dominio), una volta tracciata fino l'ultimo punto ($-pi$ in questo caso)
la riproduco a specchio dall'altra parte ottendendo così una funzione $2pi$ periodica; e poi la ripeto tante volte.
1)Sulla notazioen $ x in [-pi,0]$ da $-pi$ a 0 estremi inclusi?
2)Quando la funzione è dispari uso un altro metodo per tracciarla?
up
Avevo capito che la [tex]$f(x)$[/tex] fosse assegnata dalla legge [tex]$\frac{|x|}{4}\ x$[/tex]... 
Tuttavia, il metodo te l'ho mostrato. Ora hai tutti gli strumenti per terminare da solo.
Tuttavia, il metodo te l'ho mostrato. Ora hai tutti gli strumenti per terminare da solo.
come faccio(e posto) un grafico?
allora, se ho la funzione $f(x)=-|x|/3$ dispari $2pi$ periodica $x in ]-pi,0]$
tracciando il primo pezzo
[asvg]axes();
stroke="blue";
xmin = -3.13; xmax = 0; ymin = -3; ymax = 3;
axes(1,3, "labels", 2, 2, "grid");
plot("-abs(x)/3");[/asvg]
tracciando il primo pezzo
[asvg]axes();
stroke="blue";
xmin = -3.13; xmax = 0; ymin = -3; ymax = 3;
axes(1,3, "labels", 2, 2, "grid");
plot("-abs(x)/3");[/asvg]
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