Funzioni periodiche

[mario998]

Salve.
Allora, sto cercando di dimostrare alcune cose sulle funzioni periodiche. Non trovavo le dimostrazioni da nessuna parte quindi ho fatto da me, chiedo venia in anticipo se ho scritto qualche orrore:
(Ringrazio infinitamente chiunque si prenda la pazienza di leggere tutto e, magari, correggermi!)


Se $f$ è una funzione periodica di periodo $\tau$. Allora tutti e soli i periodi di $f$ sono della forma $k\tau$, con $k$ in $\mathbb{Z}$.


Ovviamente se $\tau$ è il periodo di $f$, anche $k\tau$ lo è:
\begin{equation*}
f(x+k\tau)=f(x+\underbrace{\tau+\tau+\dots+\tau}_{k \text{ volte}})=f(x+\underbrace{\tau+\tau+\dots+\tau}_{k-1 \text{ volte}})=\dots=f(x+\tau)=f(x)
\end{equation*}
Viceversa, supponiamo per assurdo che esista un periodo non nullo diverso da $k\tau$, chiamiamolo $\beta>\tau$.

Per ipotesi è $\frac{\beta}{\tau}\ne k$, cioè $\frac{\beta}{\tau}$ non è un numero intero. Allora abbiamo due possibilità:

$\frac{\beta}{\tau}$ è un numero razionale, non intero
$\frac{\beta}{\tau}$ è un numero irrazionale.
[/list:u:2nzum9gt]
Nel primo caso possono accadere, ancora, due cose:



$\beta$ e $\tau$ sono due numeri irrazionali che, divisi, danno un razionale; cioè $\beta=s\tau$ con $s\in\mathbb{Q}- \mathbb{Z} $
$\beta$ e $\tau$ sono due numeri interi che non hanno fattori in comune
[/list:u:2nzum9gt]

Nel secondo caso invece, potrebbe essere che:


$\beta$ e $\tau$ sono due numeri irrazionali che divisi danno ancora un irrazionale
o $\beta$ è irrazionale e $\tau$ no, oppure il viceversa
[/list:u:2nzum9gt]

Analizziamo caso per caso.

Partiamo dal primo:

Se $\beta=s\tau$ con $s$ come sopra, $\beta$ non è un periodo. Infatti, pur essendo $\tau$ il periodo di $f$, $\beta=s\tau$ non lo è più. Come controesempio si prenda $\sin(\pi+2\pi)=\sin(\pi)=0\ne \sin(\pi+\frac{1}{3}2\pi)$

Se, invece, $\beta$ e $\tau$ sono due numeri interi che non hanno fattori in comune, cioè tali che $\beta$ non divide $\tau$, possiamo effettuare la divisione euclidea tra $\beta$ e $\tau$, trovando il quoziente $q$ e il resto $r$ per cui:
\begin{equation*}
\beta=q\cdot\tau+r
\end{equation*}
con $0 Ma allora, dato che per ipotesi $\beta$ è un periodo, si avrebbe:
\begin{equation*}
f(x)=f(x+\beta)=f(x+q\cdot\tau+r)=f(x+r)
\end{equation*}
E quindi anche $r$ deve essere un periodo di $f$, ma questo è assurdo perché $\tau$ è il minimo dei periodi (positivi e non nulli) e invece $r<\tau$.

Se $\frac{\beta}{\tau}=t$ con $t$ irrazionale, $\beta=\tau t$ non è più un periodo (si può creare un controesempio come fatto prima).

Allo stesso modo, se $\beta$ è razionale e $\tau$ no, deve essere $\beta=\tau t$ con $t$ irrazionale e, pertanto, $\beta$ non è più un periodo.

Viceversa se $\beta$ è irrazionale e $\tau$ no, si ha comunque $\beta=t\tau$, con t irrazionale e quindi $\beta$ non è più un periodo.

Ne segue che se $\beta\ne k\tau$, $\beta$ non è un periodo, e quindi $\beta=k\tau$, per qualche $k\in\mathbb{Z}$

Ora usiamo questo risultato per mostrare che:




Se $f$ e $g$ sono funzioni periodiche di periodo $s$ e $t$ rispettivamente, allora se



$i)$ $\frac{s}{t}$ è un numero razionale diverso da 1, la funzione somma prodotto e quoziente sono periodiche di periodo $mcm(s,t)$.
$ii)$ $s=t$, la funzione somma, prodotto e quoziente sono periodiche e hanno periodo minore o uguale a $s=t$
$iii)$ se $\frac{s}{t}$ è irrazionale, la funzione somma, prodotto e quoziente non sono periodiche.
[/list:u:2nzum9gt]
Dove estendiamo la nozione di $mcm$ ai numeri reali come segue:
\begin{equation*}
z=mcm(\alpha,\beta) \iff \exists m,n \in \mathbb{Z} : \begin{cases}
\alpha=m\cdot z\\
\beta=n\cdot z
\end{cases}
\end{equation*}



[$i)$] Se $\frac{s}{t}=k$ è un numero razionale, si ha $\frac{s}{t}=\frac{m}{n} \implies sn=mt$, con $m$ e $n$ primi tra loro.
Il $mcm(s,t)$ è $sn=mt$.

Verifichiamo che $sn$ è il periodo di $f+g$, $fg$ e $f/g$.
Si ha:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&(f+g)(x+m)=f(x+m)+g(x+m)=f(x+n\cdot kt)+g(x+l\cdot t)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)\\
&(fg)(x+sn)=f(x+sn)g(x+sn)=f(x+sn)g(x+mt)=f(x)g(x) \\
&\frac{f(x+sn)}{g(x+mt)}=\frac{f(x)}{g(x)}
\end{aligned}
\end{equation*}
Quindi effettivamente $sn=mt$ è un periodo per le tre funzioni somma prodotto e quoziente.

Mostriamo ora che $sn=mt$ è il minimo dei periodi positivi di $f$:

supponiamo che $\alpha$ sia il periodo di $f$, quindi $\alpha\leq sn$.
Per la proposizione precedente, sappiamo che $sn$ è della forma $\alpha k$, da cui:
\begin{equation*}
k=\frac{sn}{\alpha}
\end{equation*}
Ora osserviamo che $k$ è un intero, quindi $\frac{sn}{\alpha}$ deve essere un intero.
Ci sono due possibilità: o $sn=\alpha$, e quindi concludiamo la dimostrazione, oppure $\frac{s}{\alpha}$ è intero.
L'ultimo caso non si può verificare: se così fosse, si avrebbe $\frac{s}{\alpha}=k_1 \in\mathbb{Z} \implies s=k_1 \alpha$, cioè $s$ sarebbe un periodo per $fg$, $f+g$, $f/g$, ma ciò non è vero:
\begin{equation*}
f(x+s)g(x+s)=f(x)g(x+s)\neq f(x)g(x)
\end{equation*}
(perché $s$ non è periodo di $g$)

$ii)$ In questo caso è ovvio che $s=t$ è un periodo per le funzioni somma prodotto e quoziente. Tuttavia, non riusciamo a dire molto sul periodo di queste funzioni.
L'unica cosa certa è che se $\alpha$ è il periodo, questo è il minimo dei periodi positivi, e quindi sarà sicuramente $\alpha \leq s=t$

$iii)$ Se $\frac{s}{t}$ è irrazionale, allora non esistono interi $m$, $n$ per cui $ms=nt$.

Comunque, supponiamo che nonostante ciò $f+g$, $fg$ , $f/g$ siano periodiche, di periodo $c$.
$c$ non può essere contemporaneamente periodo di $f$ e periodo di $g$, perché un tale numero non esiste.

Se $c$ fosse un periodo di $f$, cioè $c=kt$, si avrebbe:
\begin{equation*}
f(x+kt)+g(x+kt)=f(x)+g(x+kt)\neq f(x)+g(x)
\end{equation*}
E quindi $kt$ non è periodo di $f+g$, stessa cosa se $c$ fosse un periodo di $g$.
Ma allora si ha $f(x+c)\ne f(x) \forall x \in X$ e $g(x+c)\ne g(x) \forall x \in X$ e di conseguenza $f(x)+g(x) \ne f(x+c)+g(x+c) \forall x \in X$.

Pertanto, $c$ non è periodo di $f+g$, contraddizione: $f+g$ non è periodica.
Allo stesso modo si verifica per le funzioni somma e quoziente, e si conclude.
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