Funzioni perdiodiche

[Wippy93]

Salve, ho un piccolo problema con la risoluzione di esercizi di questo tipo:

Determinare il periodo delle funzioni definite da:

$ y = Asin(nx) $

Io l'ho risolto in maniera qualitativa cioè sapendo che $ sin(x) $ il perdiodo è $ 2pi $ , $ sin(2x) $ il periodo è $ pi $, $ sin(4x) $ il periodo è $ pi/2 $. quindi il periodo di $ sin(nx) $ è $ (2pi)/n $.

Come posso dimostrarlo in maniera più "matematica" ?

[Zero87]

"Wippy93":Come posso dimostrarlo in maniera più "matematica" ?

Applicando la definizione di periodo, cioè il più piccolo $p \ne 0$ tale che
$A sin(n(x+p))=A sin(nx)$.

Ora quell'$A$ possiamo tranquillamente non considerarlo nel calcolo.

Dunque
$sin(n(x+p))=sin(nx+np)=cos(nx)sin(np)+sin(nx)cos(np)$
che uguagliamo a $sin(nx)$ in modo da trovare il periodo $p$.

Otteniamo
$cos(nx)sin(np)+sin(nx)cos(np)=sin(nx)$.

Per fare in modo che il primo membro sia uguale al secondo occorre che
- $sin(np)=0$
- $cos(np)=1$

Dunque $np=2k\pi$ da cui $p= 2k\pi/n$. Il periodo, dunque, è il $p \ne 0$ più piccolo che verifica quella uguaglianza e si ottiene per $k=1$, cioè $2\pi/n$.

NOTA.
Il ragionamento mediante definizione funziona, in genere, solo con espressioni elementari ed è pertanto piuttosto sconsigliato.
Diciamo che stavolta mi va bene!