Funzioni pari e iniettive...

[p_mat]

Buonasera, posso affermare che non esiste una funzione reale di variabile reale, pari che sia anche iniettiva definita in un intervallo/intorno di cui l'origine (incluso in esso) non sia un estremo (superiore o inferiore) ma un punto interno?
Cioe' la funzione - pari - e' definita in un intervallo/intorno in cui esistono punti inerni ad esso precedenti e seguenti lo 0, per precedente o seguente inteso nel senso dell'ordinamento di $mathbb{R}$. Ecco, questa funzione puo' essere anche iniettiva?

Io credo che una funzione pari, se non ristretta al dominio $[0 ,+infty)$ (o comunque con estremo sinistro non minore di zero ed estremo destro qualunque diverso da zero - per definizione maggiore di quello sinistro -) o analogamente al dominio $(-infty , 0]$ (con applicate le opportune condizioni appena citate adattandole a questo caso), non possa essere iniettiva. La domanda puo' sembrare banale ma volevo esserne certo...
___________________________________________________________
Per chi preferisce i simboli, se definisco :
$f:{ ( [a;b]subseteq mathbb{R} rarr S subseteq mathbb{R} ),( x|-> f(x) :f(-x)=f(x) AA x in [a;b] ):}$

dove :
1) ":" nella definizione dell'immagine indicano "tale che" ;
2) $a < 0$ e $b > 0$ ($AA a,b in mathbb{R}$, anche infiniti, e nel caso il corrispondente estremo escluso).

E' corretto affermare che $f$ non puo' in nessun caso essere iniettiva?

Nel caso abbia commesso errori (anche se il "ragionamento" e' giusto) segnalatemeli.

[Ernesto011]

Se $0$ è un punto interno ad un intervallo $I$ allora per definizione di punto interno esiste un $epsilon>0$ tale che $J=(-epsilon,epsilon) subset I$. Sia $x in J$ un qualsiasi punto diverso da $0$, allora anche $-x in J$.
$f(x)=f(-x)$ quindi $f:J->R$ non può essere iniettiva, e di conseguenza neanche $f:I->R$ lo è. Quindi una tale funzione non può esistere.

Sempre se intendevi questo.

[luca97xd]

Siano \(\displaystyle a,b\in\mathbb{\overline{R}} \) con \(\displaystyle a<0
Egualmente, per ogni insieme di definizione di \(\displaystyle f \) tale che \(\displaystyle ]a,b[\subseteq dom(f)\subseteq[a,b] \). Se fosse invece \(\displaystyle a=-\infty \), e per la parità in ipotesi \(\displaystyle b=+\infty \), sarebbe sufficente considerare un generico \(\displaystyle \delta\in\mathbb{R} \).

-

Più semplicemente: per il principio di Dedekind esteso a \(\displaystyle \mathbb{\overline{R}} \), per ogni \(\displaystyle a,b\in\mathbb{\overline{R}} \) con \(\displaystyle a

Cita

Segnala

[p_mat]

Ernesto01 era proprio quello che intendevo! (o quasi, nel senso che la conclusione e' quella che volevo!)

luca97xd sul ragionamento ci sono ma mi perdo qui'

per l'arbitrarietà dell'estremo inferiore $a$

, perdonami ma non capisco cosa vuol dire... cioe' non posso affermare direttamente che $f$ non e' iniettiva da quello che hai scritto prima di "dunque"?
Altra cosa: nel secondo paragrafo perche' hai indicato

$]a,b[ subseteq dom(f) subseteq [a,b]$

? Quale sarebbe il significato? Con il primo paragrafo non si include la generalizzazione che penso tu voglia intendere?

Riguardo al terzo paragrafo mi sono proprio perso (Ho presente la proprieta' di Dedekind, ma quello che c'e' dopo.. no)
Tra l'altro l'assioma di Dedekind non vale per insiemi (nel nostro caso intervalli) limitati superiormente o inferiormente?
Come lo si estende ad $bar(mathbb(R))$? (Intendendo con tale simbolo $mathbb(R) cup {-infty}cup{+infty}$ dove questi ultimi due "oggetti" non appartengono ad $mathbb(R)$ perche' non sono numeri reali)
Sempre riguardo cio' $delta$ non dovrebbe essere un $"sup"$ o $"inf"$ anziche' appartenere semplicemente ad $]a,b[$ per quello che ho scritto sopra? (Anche perche' non potrebbbe appartenere al chiuso ed essere un inf o un sup..)
Sull'ultima frase non mi esprimo perche' non riesco a capirla.

Non e' che potresti spiegarmelo in un modo diverso o analogamente piu' sempice? Te ne sarei grato

[luca97xd]

Snellisco un poco, senza alterarne la natura. Si noti che la logica della deduzione si riduce a chiedersi se in generale esista un generico \(\displaystyle \delta\in dom(f)\setminus\left\{0\right\} \) tale che \(\displaystyle f(\delta)=f(-\delta) \), in modo da fornire un controesempio che confuti l'iniettività. E non necessariamente deve essere \(\displaystyle \delta=a,b \).

-

Siano \(\displaystyle a,b\in\mathbb{\overline{R}} \) con \(\displaystyle a<0
Più semplicemente: per il principio di Dedekind esteso a \(\displaystyle \mathbb{\overline{R}} \), per ogni \(\displaystyle a,b\in\mathbb{\overline{R}} \) con \(\displaystyle a
-

Infine si ha il seguente teorema. Siano \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) due sottoinsiemi non vuoti di \(\displaystyle \mathbb{\overline{R}} \) tali che \(\displaystyle \forall x\in X,y\in Y : x

Cita

Segnala

[luca97xd]

Essendo \(\displaystyle ]a,b[ \) definito come \(\displaystyle \left\{\xi\in\overline{\mathbb{R}}:a<\xi
In effetti, per la parità in ipotesi si aveva inizialmente \(\displaystyle dom(f)\neq [a,b[ \) e \(\displaystyle dom(f)\neq ]a,b] \). Nella parte n02 si ha esclusivamente \(\displaystyle dom(f)=]a,b[\subseteq\overline{\mathbb{R}} \).

[p_mat]

Capito, fino al secondo paragrafo ci sono e mi basta cosi'. E' li che si giunge alla conclusione che volevo.