Funzioni ortogonali
Quando è che due funzioni sono ortogonali?
su internet non ho trovato molta roba a riguardo.
io so di una formula del tipo:
$ int_()^()( f(x)*g(x)dx) =0 $
ma con quel simbolo di integrale si fa riferimento all'integrale indefinito o oppure a quello definito? e se è quello definito rispetto a quelle intervallo di integrazione?
Inoltre potreste farmi qualche esempio di funzioni "famose" ortogonali tra loro?
ad esempio senx e cosx sono tra loro ortognali? e invece senx e sen2x?
GRAZIE!!
su internet non ho trovato molta roba a riguardo.
io so di una formula del tipo:
$ int_()^()( f(x)*g(x)dx) =0 $
ma con quel simbolo di integrale si fa riferimento all'integrale indefinito o oppure a quello definito? e se è quello definito rispetto a quelle intervallo di integrazione?
Inoltre potreste farmi qualche esempio di funzioni "famose" ortogonali tra loro?
ad esempio senx e cosx sono tra loro ortognali? e invece senx e sen2x?
GRAZIE!!
Risposte
Il concetto di ortogonalita' di due funzioni si definisce nell'ambito di uno spazio vettoriale V di funzioni dotato di un prodotto interno (.,.) , quindi due funzioni $ f,ginV $ sono ortogonali quando $ (f,g)=0 $. [ovviamente stesso concetto gia' visto negli spazi $ mathbb(R)^n $].
Per esempio nello spazio delle funzioni continue sull'intervallo $ [0,pi] $ a valori in $ mathbb(R) $ dotato del prodotto scalare
$ (f,g)=int_(0)^(pi)f(x)g(x)dx $
e quindi ha senso parlare di ortogonalita'. Per esempio due funzioni che appartengono a tale spazio sono sin(x) et cos(x). Per esse si puo' calcolare il prodotto scalare e dire che sono ortogonali:
$ (sinx,cosx)=int_(0)^(pi)sinxcosxdx= 1/2sin^2(pi)-1/2sin^2(0)=0 $.
In condizioni opportune in uno spazio vettoriale di funzioni si puo' trovare una famiglia di vettori ortonormali (ortogonali tra loro e di lunghezza 1) tali che ogni vettore dello spazio si puo' esprimere come una combinazione lineare di questi. (sistemi ortogonali completi, sui quali c'e' tanta letteratura compresi tanti appunti universitari)
Per esempio nello spazio delle funzioni continue sull'intervallo $ [0,pi] $ a valori in $ mathbb(R) $ dotato del prodotto scalare
$ (f,g)=int_(0)^(pi)f(x)g(x)dx $
e quindi ha senso parlare di ortogonalita'. Per esempio due funzioni che appartengono a tale spazio sono sin(x) et cos(x). Per esse si puo' calcolare il prodotto scalare e dire che sono ortogonali:
$ (sinx,cosx)=int_(0)^(pi)sinxcosxdx= 1/2sin^2(pi)-1/2sin^2(0)=0 $.
In condizioni opportune in uno spazio vettoriale di funzioni si puo' trovare una famiglia di vettori ortonormali (ortogonali tra loro e di lunghezza 1) tali che ogni vettore dello spazio si puo' esprimere come una combinazione lineare di questi. (sistemi ortogonali completi, sui quali c'e' tanta letteratura compresi tanti appunti universitari)
dunque per vedere se due funzioni siano ortogonali devo prima definire un intervallo...ma in genere posso scegliere io un certo intervallo ? Presumo comunque che debba scegliere un intervallo nel quale sia f(x) che g(x) siano entrambe definite in quando non avrebbe se no alcun senso il prodotto scalare (f,g).
In linea teorica l'ortogonalità quindi richiederebbe che l' integrale definito del prodotto di due funzioni f e g sia NULLO in un certo intervallo...ma se è nullo solo in un intervallo considerato mentre in un altro(in cui f e g sono ancora definite) non lo è le funziono f e g possono comunque essere definite ortogonali?
Infine ho pensato anche a senx e sen2x...disegnando il grafico intuitivamente mi pare che l'integrale calcolato nel loro periodo sia nullo o sbaglio?
In linea teorica l'ortogonalità quindi richiederebbe che l' integrale definito del prodotto di due funzioni f e g sia NULLO in un certo intervallo...ma se è nullo solo in un intervallo considerato mentre in un altro(in cui f e g sono ancora definite) non lo è le funziono f e g possono comunque essere definite ortogonali?
Infine ho pensato anche a senx e sen2x...disegnando il grafico intuitivamente mi pare che l'integrale calcolato nel loro periodo sia nullo o sbaglio?
In generale si sceglie certo un intervallo sul quale lavorare ma anche la classe di funzioni: lo spazio vettoriale delle funzioni continue su [0,pi] del messaggio precedente oppure lo spazio delle funzioni a quadrato integrabili secondo Lebesgue oppure altri secondo la necessita' specifica, per esempio di trovare la soluzione di un'equazione differenziale con determinate proprieta'.
Nell'esempio del messaggio precedente l'intervallo di integrazione e' quello che ho fissato quando ho stabilito lo spazio vettoriale e li' l'integrale deve essere nullo affinche' il prodotto scalare sia nullo. Non interessa cosa succede fuori. Si definisce l'ortogonalita' di due funzioni o di una famiglia di funzioni sempre in relazione allo spazio vettoriale al quale appartengono e quindi a una certa classe di funzioni su un certo intervallo e a un certo prodotto scalare.
Ora ho l'impressione che tu abbia in mente la serie di Fourier per la quale ti metto un link tra i tanti appunti che si possono trovare con una ricerca in rete:
http://www.dmi.units.it/~obersnel/Fourier.pdf
$ int_(0)^(pi)sinxsin(2x)dx=2int_(0)^(pi)sin^2xcosxdx=2/3sin^3(pi)-2/3sin^3(0)=0 $ ma piu' in generale valgono le 3.7, 3.8 e 3.9 del testo indicato sopra.
Nell'esempio del messaggio precedente l'intervallo di integrazione e' quello che ho fissato quando ho stabilito lo spazio vettoriale e li' l'integrale deve essere nullo affinche' il prodotto scalare sia nullo. Non interessa cosa succede fuori. Si definisce l'ortogonalita' di due funzioni o di una famiglia di funzioni sempre in relazione allo spazio vettoriale al quale appartengono e quindi a una certa classe di funzioni su un certo intervallo e a un certo prodotto scalare.
Ora ho l'impressione che tu abbia in mente la serie di Fourier per la quale ti metto un link tra i tanti appunti che si possono trovare con una ricerca in rete:
http://www.dmi.units.it/~obersnel/Fourier.pdf
$ int_(0)^(pi)sinxsin(2x)dx=2int_(0)^(pi)sin^2xcosxdx=2/3sin^3(pi)-2/3sin^3(0)=0 $ ma piu' in generale valgono le 3.7, 3.8 e 3.9 del testo indicato sopra.
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