Funzioni omogenee e differenziabilità

[melli13]

Buonasera...facendo esercizi con un mio amico ci siamo trovati davanti una funzione omogenea e lui ha detto che c'era un teorema per cui ogni funzione omogenea è differenziabile. Lì per lì mi sono "fidata"..ma appena sono tornata a casa ho cercato questo teorema, che non trovo. E' davvero così? O forse è un corollario? Vi sarei grata per l'aiuto!

[Brancaleone1]

Il teorema in questione riguarda la continuità/differenziabilità nell'origine, e recita:

Sia $f:RR^n->RR$ una funzione positivamente omogenea di grado $alpha$, definita e continua per $mathbfx ne mathbf0$. Allora:

1. $f$ è continua anche nell'origine se $alpha>0$; in questo caso $f(mathbf0)=0$. $f$ è discontinua se $alpha<0$; è discontinua anche se $alpha=0$, tranne il caso banale in cui $f$ è costante.

2. $f$ è differenziabile nell'origine se $alpha>1$; non è differenziabile nell'origine se $alpha<1$, tranne il caso banale in cui $alpha=0$ e $f$ è costante. Se $alpha=1$, $f$ è differenziabile se e solo se è una funzione lineare.

NB: Il teorema afferma che non tutte le funzioni omogenee sono differenziabili, a differenza di quanto il tuo amico ha detto
A titolo d'esempio:

$f(x,y)=sqrt(5x-2y)$

è omogenea (e a maggior ragione positivamente omogenea) di grado $1/2$: questa funzione è perciò sicuramente continua nell'origine ($alpha>0$), ma non è ivi differenziabile ($alpha<1$).

[melli13]

Wow...è forte questo teorema! Grazie, mi hai davvero chiarito le idee!!
ps c'è un libro di analisi in cui potrei trovarlo?