Funzioni olomorfe e di classe c1
Salve a tutti, volevo chiedervi se qualcuno potrebbe spiegarmi
la relazione che intercorre tra funzione complessa olomorfa e funzione di classe $CC^(1)$ e differenziabile
in particolare:
1) per funzione olomorfa conosco questa definizione:
Sia $f: A \to CC$ con $ A \sube CC$ diremo che f è olomorma in $A$ se è ivi derivabile con continuità.
Ma questa non è la definizione di funzione di classe C1?
2) Da cosa deriva la proprietà che in $CC$ , come in R e al contrario di $RR^2$ , la derivabilità implica la differenziabilità e viceversa?
non posso vedere fa funzione $ f: (x,y) $ come una funzione di variabile complessa $f(z)$ con $z=x+jy$ e godere della stessa proprietà anche in $RR^2$ ? .
Ringrazio tutti anticipatamente.
la relazione che intercorre tra funzione complessa olomorfa e funzione di classe $CC^(1)$ e differenziabile
in particolare:
1) per funzione olomorfa conosco questa definizione:
Sia $f: A \to CC$ con $ A \sube CC$ diremo che f è olomorma in $A$ se è ivi derivabile con continuità.
Ma questa non è la definizione di funzione di classe C1?
2) Da cosa deriva la proprietà che in $CC$ , come in R e al contrario di $RR^2$ , la derivabilità implica la differenziabilità e viceversa?
non posso vedere fa funzione $ f: (x,y) $ come una funzione di variabile complessa $f(z)$ con $z=x+jy$ e godere della stessa proprietà anche in $RR^2$ ? .
Ringrazio tutti anticipatamente.
Risposte
"duns":
per funzione olomorfa conosco questa definizione:
Sia $f: A \to CC$ con $ A \sube CC$ diremo che f è olomorma in $A$ se è ivi derivabile con continuità.
Non è la definizione di funzione olomorfa.
Dovresti distinguere tra la $RR$-differenziabilità e la $CC$-differenziabilità.
Si identifichi $CC=RR^2$. Sia $A \subseteq CC$ un aperto e sia $f : A -> CC$ una funzione.
i) $f$ si dice olomorfa in $A$ o $CC$-derivabile se per ogni $z_0 in A$ esiste il limite $f'(z_0)= lim_{z -> z_0} {f(z) - f(z_0)}/{z - z_0} in CC$
ii) $f$ si dice $CC$-differenziabile in $A$ se $forall z_0 in A, \ exists c in CC \ : \ lim_{z -> z_0} {f(z) - f(z_0) - c (z - z_0)}/ |z - z_0| = 0 $
iii) $f$ si dice $RR$-differenziabile in $A$ se è differenziabile come mappa tra $A subseteq RR^2$ e $RR^2$, cioè se $ forall (x_0,y_0) in A \ , \ \exists L in M_{2,2}(RR) \ : \ lim_{(x,y) -> (x_0,y_0)} {f(x,y) - f(x_0,y_0) - L ((x-x_0),(y-y_0))}/{sqrt{(x-x_0)^2 + (y - y_0)^2}} = 0 \in RR^2$.
Si dimostra facilmente che $i) iff ii)$, cioè che olomorfa è equivalente a $CC$-differenziabile: $c= f'(z_0)$
Si dimostra inoltre che una funzione è $CC$-differenziabile se e solo se è $RR$-differenziabile e per ogni punto $(x_0,y_0) in A$ la matrice $L$ è del tipo
$L = ((a,b),(-b,a))$ dove $a,b in R$ sono opportuni numeri reali.
Grazie NightKnight per la tempestiva risposta,
ho riflettuto tutta la mattinata su tutti i teoremi e le relazioni che ho studiato
ma ho una gran confusione in testa e non riesco a mettere assieme i vari pezzi quindi
preparati a sentire stupidagini, volevo chiederti:
Intendi dire quello che dicevo riguardo ad assimilare f(z) ad f(x,y) tramite z = x+jy giusto?
Quello che hai scritto $f'(z_0)= lim_{z -> z_0} {f(z) - f(z_0)}/{z - z_0} in CC$ è il limite del rapporto incrementale che posso scriverlo equivalentemente
anche così $f'(x)= lim_{h -> 0} {f(x+h) - f(x)}/{h} in CC$ giusto?
Purtroppo non conosco la mappa di cui parli, conosco però le condizioni di Cauchy-riemann centrano niente?
Sia come prima $f:A->CC$, con $A$ aperto $\subseteq CC$, differenziabile in $Z$ come funzione delle variabili x ed y,
allora $f$ è differenziabile in $z$ come funzione di una variabile complessa se e solo se $(delf)/(delx)= 1/i (delf)/(dely)$
quindi alla fine per essere olomorfa basta che esista derivabile in senso complesso, cioè deve esistere il limite del rapporto incrementale in ogni punto dell'aperto. Quindi se è di classe c1 è anche olomorfa, se è olomorfa è anche analitica, se è analitica è di classe c infinito, mi sa che c'è qualche affermazione sbagliata.
ho riflettuto tutta la mattinata su tutti i teoremi e le relazioni che ho studiato
ma ho una gran confusione in testa e non riesco a mettere assieme i vari pezzi quindi
preparati a sentire stupidagini, volevo chiederti:
"NightKnight":
Si identifichi $CC=RR^2$.
Intendi dire quello che dicevo riguardo ad assimilare f(z) ad f(x,y) tramite z = x+jy giusto?
"NightKnight":
Sia $A \subseteq CC$ un aperto e sia $f : A -> CC$ una funzione.
i) $f$ si dice olomorfa in $A$ o $CC$-derivabile se per ogni $z_0 in A$ esiste il limite $f'(z_0)= lim_{z -> z_0} {f(z) - f(z_0)}/{z - z_0} in CC$
Quello che hai scritto $f'(z_0)= lim_{z -> z_0} {f(z) - f(z_0)}/{z - z_0} in CC$ è il limite del rapporto incrementale che posso scriverlo equivalentemente
anche così $f'(x)= lim_{h -> 0} {f(x+h) - f(x)}/{h} in CC$ giusto?
"NightKnight":
iii) $f$ si dice $RR$-differenziabile in $A$ se è differenziabile come mappa tra $A subseteq RR^2$ e $RR^2$, cioè se $ forall (x_0,y_0) in A \ , \ \exists L in M_{2,2}(RR) \ : \ lim_{(x,y) -> (x_0,y_0)} {f(x,y) - f(x_0,y_0) - L ((x-x_0),(y-y_0))}/{sqrt{(x-x_0)^2 + (y - y_0)^2}} = 0 \in RR^2$.
Si dimostra facilmente che $i) iff ii)$, cioè che olomorfa è equivalente a $CC$-differenziabile: $c= f'(z_0)$
Si dimostra inoltre che una funzione è $CC$-differenziabile se e solo se è $RR$-differenziabile e per ogni punto $(x_0,y_0) in A$ la matrice $L$ è del tipo
$L = ((a,b),(-b,a))$ dove $a,b in R$ sono opportuni numeri reali.
Purtroppo non conosco la mappa di cui parli, conosco però le condizioni di Cauchy-riemann centrano niente?
Sia come prima $f:A->CC$, con $A$ aperto $\subseteq CC$, differenziabile in $Z$ come funzione delle variabili x ed y,
allora $f$ è differenziabile in $z$ come funzione di una variabile complessa se e solo se $(delf)/(delx)= 1/i (delf)/(dely)$
quindi alla fine per essere olomorfa basta che esista derivabile in senso complesso, cioè deve esistere il limite del rapporto incrementale in ogni punto dell'aperto. Quindi se è di classe c1 è anche olomorfa, se è olomorfa è anche analitica, se è analitica è di classe c infinito, mi sa che c'è qualche affermazione sbagliata.
La risposta alla prime due domande è sì.
Per la terza: il fatto che la matrice jacobiana $L$ sia di quella forma è equivalente alla condizioni di Cauchy-Riemann. (mappa è sinonimo di applicazione, funzione)
Indichiamo $z=(x,y)=x + iy \ in CC=RR^2$, $f = P + i Q$, cioè $P= Re f$, $Q=Im f$.
Comunque per una funzione complessa definita su un aperto di $CC$ sono equivalenti i seguenti fatti:
1) è olomorfa, cioè è derivabile in senso complesso in ogni punto del dominio
1') è differenziabile in senso complesso in tutto il dominio
2) è differenziabile in senso reale e la matrice jacobiana in ogni punto è del tipo $((a,b),(-b,a))$
2') è differenziabile in senso reale e in ogni punto del dominio vale $ {partial P} / {partial x} = {partialQ} / {partialy} \ , \ {partialP} / {partialy} = - {partialQ} / {partialx}$
2'') è differenziabile in senso reale e in ogni punto del dominio vale $ {partial f} / {partial x} = -i {partial f} / {partial y}$
3) è analitica in senso complesso, cioè è sviluppabile in serie di potenze in un intorno di ogni punto del dominio
4) è di classe $C^1$ in senso reale e la matrice jacobiana in ogni punto è del tipo $((a,b),(-b,a))$
5) è di classe $C^oo$ in senso reale e la matrice jacobiana in ogni punto è del tipo $((a,b),(-b,a))$
6) è continua, esistono le derivate parziali $ {partial f} / {partial x} \ , \ {partial f} / {partial y}$ su tutto il dominio e vale $ {partial f} / {partial x} = -i {partial f} / {partial y}$ su tutto il dominio
7) è continua e la forma differenziale $f(z) dz$ è localmente esatta
Dimostra per esercizio l'equivalenza tra 1,1',2,2',2''..
Per la terza: il fatto che la matrice jacobiana $L$ sia di quella forma è equivalente alla condizioni di Cauchy-Riemann. (mappa è sinonimo di applicazione, funzione)
Indichiamo $z=(x,y)=x + iy \ in CC=RR^2$, $f = P + i Q$, cioè $P= Re f$, $Q=Im f$.
Comunque per una funzione complessa definita su un aperto di $CC$ sono equivalenti i seguenti fatti:
1) è olomorfa, cioè è derivabile in senso complesso in ogni punto del dominio
1') è differenziabile in senso complesso in tutto il dominio
2) è differenziabile in senso reale e la matrice jacobiana in ogni punto è del tipo $((a,b),(-b,a))$
2') è differenziabile in senso reale e in ogni punto del dominio vale $ {partial P} / {partial x} = {partialQ} / {partialy} \ , \ {partialP} / {partialy} = - {partialQ} / {partialx}$
2'') è differenziabile in senso reale e in ogni punto del dominio vale $ {partial f} / {partial x} = -i {partial f} / {partial y}$
3) è analitica in senso complesso, cioè è sviluppabile in serie di potenze in un intorno di ogni punto del dominio
4) è di classe $C^1$ in senso reale e la matrice jacobiana in ogni punto è del tipo $((a,b),(-b,a))$
5) è di classe $C^oo$ in senso reale e la matrice jacobiana in ogni punto è del tipo $((a,b),(-b,a))$
6) è continua, esistono le derivate parziali $ {partial f} / {partial x} \ , \ {partial f} / {partial y}$ su tutto il dominio e vale $ {partial f} / {partial x} = -i {partial f} / {partial y}$ su tutto il dominio
7) è continua e la forma differenziale $f(z) dz$ è localmente esatta
Dimostra per esercizio l'equivalenza tra 1,1',2,2',2''..
Grazie mille per l'aiuto.
Ora credo di avere le idee decisamente più chiare
Fatto!
A presto!
Ora credo di avere le idee decisamente più chiare
"NightKnight":
Dimostra per esercizio l'equivalenza tra 1,1',2,2',2''..
Fatto!
A presto!
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