Funzioni olomorfe a supporto compatto

[ollop]

La mia domanda non dovrebbe essere particolarmente ardua, la questione è questa :
Le funzioni a supporto compatto non possono essere analitiche, perchè?
Ora l'unica risposta che mi viene in mente è che le funzioni a supporto compatto hanno il dominio che è un chiuso e limitato (teorema di Heine Borrel), mentre le funzioni analitiche sono definite su aperti, qualcuno può illuminarmi ?
Grazie.

[Seneca1]

Se parli di funzioni $f : CC -> CC$, puoi usare il teorema di Liouville.

[ollop]

Si parlo di funzioni complesse, quindi mi vuoi dire che tramite Liuville posso dire che una funzione analitica a supporto compatto è costante(.....), e dato che una funzione a supporto compatto e nulla al difuori di un certo intervallo allora è nulla ovunque----> quindi una funzione a supporto compatto analitica può essere solo nulla?

[Seneca1]

Esatto.

[ollop]

Grazie.

[gugo82]

Si può fare anche senza Liouville, ovviamente: basta usare il Principio di Identità delle Funzioni Analitiche (PIFA).

Infatti, se $\Omega \subset \mathbb{C}$ è un aperto e se $f\in C_c(\Omega)$, allora esiste un compatto $K\subset \Omega$ tale che $f(z)=0$ in $\Omega \setminus K$, con $\Omega \setminus K$ aperto e non vuoto; d'altra parte, se la $f$ è olomorfa in $\Omega$, essa è ivi anche analitica.
Per quanto detto, $f$ coincide con la funzione nulla (che è a sua volta banalmente analitica in $\Omega$) in un aperto non vuoto contenuto in $\Omega$: allora il PIFA importa che $f$ è ovunque nulla in $\Omega$.
Pertanto l'unica funzione di $C_c(\Omega)$ ad essere olomorfa in $\Omega$ è la funzione identicamente nulla.