Funzioni olomorfe

[melli13]

Buongiorno a tutti! Avete qualche idea per risolvere questo esercizio? Io proprio zero
Sia f una funzione olomorfa su un aperto $D in CC$. Verificare che la funzione $g(z):=\bar{f(\bar{z})}$ è olomorfa su D*=${\bar{z}: z in D}$
Devo forse utilizzare proprio la definizione di limite? Grazie per l'aiuto

[dan952]

Ci dovrebbero essere delle condizioni necessarie e sufficienti. Prova a far vedere che poiché $f$ soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann anche $g$ le soddisfa, adesso mi viene in mente questo.

[melli13]

Il mio probelma è che mi dovrà venire che la funzione g(z) soddisfica le condizioni di Cauchy-Riemann per $\bar{z}$. È questo che non so come scrivere.

[dan952]

Prova a verificarlo con questa relazione $\frac{\bar{\partial f(z)}}{\partial \bar{z}}=\frac{\partial \bar{f(z)}}{\partial z}$...
Sappiamo che $f$ è olomorfa quindi $frac{\bar{\partial f(z)}}{\partial \bar{z}}=0$, dobbiamo mostrare che $g(z)$ è olomorfa in $D'$ ovvero $\frac{\partial g(\bar{z})}{\partial z}=0$, infatti $\frac{\partial g(\bar{z})}{\partial z}=\frac{\partial \bar{f(z)}}{\partial z}=\frac{\bar{\partial f(z)}}{\partial \bar{z}}=0$



P.s. Dissonance o prof. Lussardi, confermate?

[melli13]

Grazie mille @dan95
Avevo qualche lacuna proprio nella teoria di questa roba...ho un libro che sembra un bignami di analisi complessa
L'ho risolto cosi quindi:
f è olomorfa su D $<=>(delf(z))/(del\bar{z})=0$$<=> (del\bar{f(z)})/(delz)=0$
$(delg(\bar{z}))/(delz)= (del\bar{f(z)})/(delz)=0$
E quindi g(z) è olomorfa in D*