Funzioni non sommabili con integrale improprio finito???????

[Sveshh]

Salve a tutti.
Stavo rileggendo gli appunti presi in aula di analisi.
E ho letto che una funzione f(x) non sommabile può anche avere integrale improprio finito!
ma come???????????????????????????????????
Scusate...prendo $ f(x) $ nell intervallo $ [a;+oo) $
La condizione necessaria (e sufficiente??) per la sommabilità è che $ lim_(p->+oo) int_(a)^(p) f(x) dx < +oo $.
CIOè SE QUESTO INTEGRALE IMPROPRIO è FINITO (cioè l'area del rettangoloide ''illimitato'') LA FUNZIONE è SOMMABILE.
OPPURE PUO' COME POTREBBE NON ESSERE SOMMABILE??? E LA CONDIZIONE NON è ANCHE SUFFICIENTE???
Quali sono i casi in cui l'area del rettangoloide è finita e la funzione NON è sommabile??? SONO CONFUSA!

[Sk_Anonymous]

Per quanto mi riguarda, dato \((X, \mathcal{M}, \mu)\) spazio con misura, dico (definizione!) integrabile (o sommabile) una funzione \(f \in L^1(X)\). La questione cambia sensibilmente se si parla di funzioni integrabili in senso esteso: infatti se \(f: X \to \tilde{\mathbb{R}}\) è misurabile, la formula \[\int_X f = \int_X f^{+} - \int_X f^{-} \] è priva di significato se \(\int_X f^{+} = \int_X f^{-} = \infty\). Dico quindi che \(f\) è integrabile in senso esteso se almeno uno dei due integrali \(\int_X f^{+} \) e \(\int_X f^{-}\) è finito.

[gio73]

Ciao Sveshh
benvenuta sul forum. Ti chiedo ti togliere un bel po' di punti interrogativi superflui e il maiuscolo.
Così come è scritto il tuo messaggio viene "percepito" come un insieme di strilli.

[Seneca1]

C'è un problema di fondo. Il teorema di confronto tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue ti garantisce che una funzione limitata e definita su un intervallo $[a,b]$ che è integrabile alla Riemann è integrabile anche nel senso di Lebesgue e i due integrali coincidono.
Quando si parla di integrali impropri si fa riferimento sostanzialmente a limiti di integrali di Riemann (vediti la definizione), e la questione diventa un po' più complicata. Infatti esistono funzioni che sono integrabili in senso improprio ma che non sono integrabili (sommabile) secondo Lebesgue.
Epperò le funzioni che hanno integrale improprio assolutamente convergente sono sommabili e l'integrale improprio coincide con l'integrale di Lebesgue.