Funzioni misurabili
Ciao a tutti. Mi sono appena iscritta e innanzitutto faccio i complimenti per questo bel sito.
Avrei bisogno di aiuto per un esericizio di analisi due in cui ho dei dubbi.
So che se ho due funzioni misurabili (secondo Lebesgue) f,g da R^N in (R U {+inf,-inf}) che non valgono mai simultaneamente +inf nè -inf allora la loro somma è misurabile.
L'esercizio chiede di dimostrare che se f e g sono 2 funzioni misurabili qualsiasi allora l'insieme su cui coincidono {f(x)=g(x)} è misurabile.
Ho pensato di scrivere il suddetto insieme come {(f-g)(x)=0}={(f-g)>=0}intersecato{(f-g)<=0}.
Se f-g=f+(-g) è misurabile allora ho finito. Ma il dubbio è il seguente: come tratto gli eventuali punti in cui le due funzioni valgono f=+inf e g=-inf, cioè in punti su cui il teorema che ho scritto su non funziona? Inoltre cosa succede in generale in questi punti? Cioè che valore ha la funzione (f-g) in un punto in cui f e g valgono entrambe +inf?
Spero di essere stata chiara e che qualcuno possa rispondermi. Grazie.
Avrei bisogno di aiuto per un esericizio di analisi due in cui ho dei dubbi.
So che se ho due funzioni misurabili (secondo Lebesgue) f,g da R^N in (R U {+inf,-inf}) che non valgono mai simultaneamente +inf nè -inf allora la loro somma è misurabile.
L'esercizio chiede di dimostrare che se f e g sono 2 funzioni misurabili qualsiasi allora l'insieme su cui coincidono {f(x)=g(x)} è misurabile.
Ho pensato di scrivere il suddetto insieme come {(f-g)(x)=0}={(f-g)>=0}intersecato{(f-g)<=0}.
Se f-g=f+(-g) è misurabile allora ho finito. Ma il dubbio è il seguente: come tratto gli eventuali punti in cui le due funzioni valgono f=+inf e g=-inf, cioè in punti su cui il teorema che ho scritto su non funziona? Inoltre cosa succede in generale in questi punti? Cioè che valore ha la funzione (f-g) in un punto in cui f e g valgono entrambe +inf?
Spero di essere stata chiara e che qualcuno possa rispondermi. Grazie.
Risposte
Beh, puoi osservare che ${ x : f(x) = g(x) } = A \cup B \cup C$, con
$A = { x : f(x) \in RR, g(x) \in RR, f(x) = g(x) }$,
$B = { x : f(x) = g(x) = +oo }$,
$C = { x : f(x) = g(x) = -oo }$.
$A = { x : f(x) \in RR, g(x) \in RR, f(x) = g(x) }$,
$B = { x : f(x) = g(x) = +oo }$,
$C = { x : f(x) = g(x) = -oo }$.
ok. Non avevo pensato che quelli che hai chiamato B e C in effetti sono misurabili. Grazie.
Pongo un altro quesito allora.
Se f è una funzione misurabile su R^N e g è un'altra funzione tale che {x in R^N : f(x)!=g(x)} è misurabile e ha misura nulla allora g è misurabile.
Ho fatto così:
perogni c in R voglio verificare che {x:g(x)>c} è misurabile. Ho provato a spezzarlo facendo riferimento al fatto che f è misurabile:
{g>c}={g=f>c} U {g>c et g!=f}=({g=f}intersecato{f>c}) U ({g>c}intersecato{g!=f})
Allora:
{g=f} èmisurabile perchè complementare di un misurabile, {f>c} è misurabile perchè f è misurabile quindi la loro intersezione è misurabile.
{g!=f} è misurabile per ipotesi.
Però così ritorno al problema iniziale cioè {g>c} misurabile.
Non ho usato l'ipotesi che {g!=f} sia di misura nulla. Posso dire che ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla è misurabile e ha misura nulla? se sì perchè (lo intuisco ma non so come dimostrarlo)
grazie a chi mi risponderà...
Pongo un altro quesito allora.
Se f è una funzione misurabile su R^N e g è un'altra funzione tale che {x in R^N : f(x)!=g(x)} è misurabile e ha misura nulla allora g è misurabile.
Ho fatto così:
perogni c in R voglio verificare che {x:g(x)>c} è misurabile. Ho provato a spezzarlo facendo riferimento al fatto che f è misurabile:
{g>c}={g=f>c} U {g>c et g!=f}=({g=f}intersecato{f>c}) U ({g>c}intersecato{g!=f})
Allora:
{g=f} èmisurabile perchè complementare di un misurabile, {f>c} è misurabile perchè f è misurabile quindi la loro intersezione è misurabile.
{g!=f} è misurabile per ipotesi.
Però così ritorno al problema iniziale cioè {g>c} misurabile.
Non ho usato l'ipotesi che {g!=f} sia di misura nulla. Posso dire che ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla è misurabile e ha misura nulla? se sì perchè (lo intuisco ma non so come dimostrarlo)
grazie a chi mi risponderà...
"fran88":
{g>c}={g=f>c} U {g>c et g!=f}=({g=f}intersecato{f>c}) U ({g>c}intersecato{g!=f})
Allora:
{g=f} èmisurabile perchè complementare di un misurabile, {f>c} è misurabile perchè f è misurabile quindi la loro intersezione è misurabile.
{g!=f} è misurabile per ipotesi.
({g>c}intersecato{g!=f}) è misurabile perché sottoinsieme di {g!=f} che è di misura nulla.
"fran88":
Posso dire che ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla è misurabile e ha misura nulla? se sì perchè (lo intuisco ma non so come dimostrarlo)
Puoi dirlo perché siamo in R^N e la misura è quella di Lebesgue (immagino) che è completa (cioè ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla è misurabile). Attenzione: esistono misure non complete!
Come dimostrare che la misura di Lebesgue è completa? Per rispondere a questa domanda ho bisogno di sapere come la hai definita.
La costruzione è la seguente:
misura dei rettangoli -> misura dei plurirettangoli -> misura di aperti e di compatti -> misura interna ed esterna sui limitati -> misura sui limitati (se le due precedenti coincidono) -> misura sui non limitati (per intersezione con le palle aperte di centro l'origine e raggio variabile)
Sono sufficienti queste informazioni?
In ogni caso nelle dispense da cui sto studiando dimostrare che ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla sia misurabile e abbia misura nulla è lasciato per esercizio. Ci ho provato ma non so come muovermi. Grazie ancora.
misura dei rettangoli -> misura dei plurirettangoli -> misura di aperti e di compatti -> misura interna ed esterna sui limitati -> misura sui limitati (se le due precedenti coincidono) -> misura sui non limitati (per intersezione con le palle aperte di centro l'origine e raggio variabile)
Sono sufficienti queste informazioni?
In ogni caso nelle dispense da cui sto studiando dimostrare che ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla sia misurabile e abbia misura nulla è lasciato per esercizio. Ci ho provato ma non so come muovermi. Grazie ancora.
Può andar bene questo?:
Se E è limitato e ha misura nulla sia $F sub E$.
Se E ha misura nulla allora $AA epsilon>0 EE A$ aperto $E sub A$ e $m(A)
Può funzionare?
Se E è limitato e ha misura nulla sia $F sub E$.
Se E ha misura nulla allora $AA epsilon>0 EE A$ aperto $E sub A$ e $m(A)
Può funzionare?
Sì va bene.
Grazie...
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