Funzioni meromorfe: #(zeri) e #(poli)
Un saluto a tutti i forumisti.
Ho qualche perplessità (più di qualche, sono in confusione totale!
) circa le funzioni meromorfe
Richiami
Teor. (degli zeri di funzioni olomorfe)
$Omega sub CC$ aperto connesso; $f in H(Omega)$; $Z(f)={z in Omega | f(z)=0}$.
Se $Z(f)$ ammette punti limite in $Omega$ $=>$ $f=0$.
Coroll.
$Omega sub CC$ aperto connesso; $f in H(Omega)$, $f!=0$. Allora $Z(f)$ è al più numerabile.
Def.
$Omega sub CC$ aperto; $f$ si dice meromorfa in $Omega$ se $EE P=P(f) sub CC$ t.c. $f in H(Omega-P)$ e $AAz in P: f$ ha un polo in z.
Oss.
$Omega sub CC$ aperto connesso; $f$ meromorfa in $(Omega)$, $f!=0$.
L'insieme degli zeri di $f$, $Z(f)$, può essere non vuoto; gli zeri di $f$ non possono accumularsi in $Omega-P(f)$, altrimenti $f$ sarebbe nulla (cfr. teor. degli zeri di funzioni olomorfe)
(1), però essi potrebbero accumularsi sul bordo di $Omega-P(f)$, cioè su $partialOmega$ o in $P(f)$.
In realtà gli zeri di $f$ possono accumularsi solo su $partialOmega$, infatti:
supp. che $EE(z_n) sub (Omega-P(f))$ t.c. $AA n in NN f(z_n)=0$ e $z_n->z_0 in P(f)$,
allora $lim_n f(z_n)=0$, ma $lim_{z->z_0}|f(z)|=+infty$!!
$=>$ i poli di $f$ sono punti isolati(2).
(1) In questo passaggio si dà per contato che $Omega-P(f)$ sia un aperto connesso di $CC$; ora, nell'ipotesi di $f$ meromorfa, dovrebbe essere contenuto che $Omega-P(f)$ aperto, ma la connessione?
(2) Il fatto che gli zeri non possano accumularsi in $P(f)$ perché implica che non ci siano successioni di punti in $Omega-(P(f)uuZ(f))$ che si accumulano in $P(f)$?
Teor. (dell'indice logaritmico)
$Omega sub CC$ aperto semplicemente connesso; $f$ meromorfa in $(Omega)$; $S=Z(f)uuP(f)$; $gamma$ circuito in $Omega-S$ t.c. $AAz in Omega-S: Ind_{gamma}(z) in {0, 1}$; $Omega_1={z in Omega | Ind_{gamma}(z)=1}$.
Allora $1/(2 pi i) int_{gamma}(f'(eta))/(f(eta))d(eta)=$#$(Z(f)nnOmega_1)-$#$(P(f)nnOmega_1)$.
Prima di affrontare la dimostrazione di questo teorema bisognerebbe fare delle osservazione sui due numeri che compaiono nella tesi:
#$(P(f)nnOmega_1)
nel dettaglio, posto $K=Int(gamma)uugamma*$, $P(f)nnOmega_1=P(f)nnInt(gamma)subP(f)nnK$ e #$(P(f)nnK)
).
Per gli zeri invece? Per poter ragionare in maniera analoga a quanto fatto per i poli, utilizzando il teor. degli zeri di funzioni olomorfe, dovremmo essere certi che $f$ è olomorfa in un connesso che contiene $K$, ma, anche soprassedendo sull'essere connesso di $Omega-P(f)$, chi ci assicura che $Ksub Omega-P(f)$?? potrebbero esserci poli in $K$...
Insomma, avrete capito che ho le idee poco chiare, per usare un eufemismo.
A pochi giorni dall'esame di Reale&Complessa, faccio affidamento sulla competenza e sulla disponibilità degli utenti di questo forum.
Vi ringrazio sin d'ora.
Ho qualche perplessità (più di qualche, sono in confusione totale!
) circa le funzioni meromorfeRichiami
Teor. (degli zeri di funzioni olomorfe)
$Omega sub CC$ aperto connesso; $f in H(Omega)$; $Z(f)={z in Omega | f(z)=0}$.
Se $Z(f)$ ammette punti limite in $Omega$ $=>$ $f=0$.
Coroll.
$Omega sub CC$ aperto connesso; $f in H(Omega)$, $f!=0$. Allora $Z(f)$ è al più numerabile.
Def.
$Omega sub CC$ aperto; $f$ si dice meromorfa in $Omega$ se $EE P=P(f) sub CC$ t.c. $f in H(Omega-P)$ e $AAz in P: f$ ha un polo in z.
Oss.
$Omega sub CC$ aperto connesso; $f$ meromorfa in $(Omega)$, $f!=0$.
L'insieme degli zeri di $f$, $Z(f)$, può essere non vuoto; gli zeri di $f$ non possono accumularsi in $Omega-P(f)$, altrimenti $f$ sarebbe nulla (cfr. teor. degli zeri di funzioni olomorfe)
(1), però essi potrebbero accumularsi sul bordo di $Omega-P(f)$, cioè su $partialOmega$ o in $P(f)$.In realtà gli zeri di $f$ possono accumularsi solo su $partialOmega$, infatti:
supp. che $EE(z_n) sub (Omega-P(f))$ t.c. $AA n in NN f(z_n)=0$ e $z_n->z_0 in P(f)$,
allora $lim_n f(z_n)=0$, ma $lim_{z->z_0}|f(z)|=+infty$!!
$=>$ i poli di $f$ sono punti isolati
(2).(1) In questo passaggio si dà per contato che $Omega-P(f)$ sia un aperto connesso di $CC$; ora, nell'ipotesi di $f$ meromorfa, dovrebbe essere contenuto che $Omega-P(f)$ aperto, ma la connessione?(2) Il fatto che gli zeri non possano accumularsi in $P(f)$ perché implica che non ci siano successioni di punti in $Omega-(P(f)uuZ(f))$ che si accumulano in $P(f)$?Teor. (dell'indice logaritmico)
$Omega sub CC$ aperto semplicemente connesso; $f$ meromorfa in $(Omega)$; $S=Z(f)uuP(f)$; $gamma$ circuito in $Omega-S$ t.c. $AAz in Omega-S: Ind_{gamma}(z) in {0, 1}$; $Omega_1={z in Omega | Ind_{gamma}(z)=1}$.
Allora $1/(2 pi i) int_{gamma}(f'(eta))/(f(eta))d(eta)=$#$(Z(f)nnOmega_1)-$#$(P(f)nnOmega_1)$.
Prima di affrontare la dimostrazione di questo teorema bisognerebbe fare delle osservazione sui due numeri che compaiono nella tesi:#$(P(f)nnOmega_1)
nel dettaglio, posto $K=Int(gamma)uugamma*$, $P(f)nnOmega_1=P(f)nnInt(gamma)subP(f)nnK$ e #$(P(f)nnK)
).Per gli zeri invece? Per poter ragionare in maniera analoga a quanto fatto per i poli, utilizzando il teor. degli zeri di funzioni olomorfe, dovremmo essere certi che $f$ è olomorfa in un connesso che contiene $K$, ma, anche soprassedendo sull'essere connesso di $Omega-P(f)$, chi ci assicura che $Ksub Omega-P(f)$?? potrebbero esserci poli in $K$...
Insomma, avrete capito che ho le idee poco chiare, per usare un eufemismo.
A pochi giorni dall'esame di Reale&Complessa, faccio affidamento sulla competenza e sulla disponibilità degli utenti di questo forum.
Vi ringrazio sin d'ora.
Risposte
La definizione di funzione meromorfa mi sembra data male.
Infatti di solito si richiede che l'insieme dei poli \(P(f)\) sia un insieme di punti isolati in \(\Omega\) (quindi, se si accumulano, si accumulano su \(\partial \Omega\)).
Con questa precisazione, il fatto che \(\Omega\setminus P\) risulti connesso se tale è \(\Omega\) non sembra tanto strana; così come si vede che non ha senso l'altra questione che poni.
Allo stesso modo, si capisce immediatamente l'osservazione su \(\sharp (P(f)\cap \Omega_1)\).
Infatti di solito si richiede che l'insieme dei poli \(P(f)\) sia un insieme di punti isolati in \(\Omega\) (quindi, se si accumulano, si accumulano su \(\partial \Omega\)).
Con questa precisazione, il fatto che \(\Omega\setminus P\) risulti connesso se tale è \(\Omega\) non sembra tanto strana; così come si vede che non ha senso l'altra questione che poni.
Allo stesso modo, si capisce immediatamente l'osservazione su \(\sharp (P(f)\cap \Omega_1)\).
Grazie gugo82; in effetti il "peccato originale" delle mie elucubrazioni è una definizione imprecisa;
a tal proposito cfr.
W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw Hill (3rd Ed.), p. 224
S. Lang, Complex Analysis, Springer (4th Ed.), p.167
http://en.wikipedia.org/wiki/Meromorphic_function
A questo punto è chiara la connessione di $Omega-P(f)$ nel caso di $Omega$ connesso;
$AAzinP(f)$ $EEepsilon=epsilon(z)>0$ t.c. $P(f)nnD_{epsilon(z)}(z)=emptyset$, $bar{D_{epsilon(z)}(z)}subOmega$ e $D_{epsilon(z)}(z)nnD_{epsilon(w)}(w)=emptyset$ se $z!=w$
$=> Omega-uuu_{z in P(f)}bar{D_{epsilon(z)}(z)}$ è un aperto connesso per archi, dunque è connesso
$=>$ a maggior ragione è connesso (per archi) $Omega-P(f)=lim_{epsilon->0}(Omega-uuu_{z in P(f)}bar{D_{epsilon(z)}(z)})$.
Per quanto riguarda(2) del post iniziale, nell'ipotesi $f!=0$ meromorfa in $OmegasubCC$ aperto connesso e $Z(f)!=emptyset$:
$P(f)$ discreto (per def. di meromorfa) $=>$ $Z(f)$ possono accumularsi solo su $partialOmega$.
Infine, per quanto riguarda i numeri del teor. dell'indice logaritmico, con le stesse notazioni del post iniziale:
#$(P(f)nnOmega_1)<=$#$(P(f)nnK)
$Z(f)$ è discreto in $Omega$ poiché $Omega-P(f)$ è connesso e $f!=0$ (dal'oss. precedente i poli non potrebbero acc. neanche su $P(f)nnK$)
$=>$ come prima, $KnnZ(f)$ è discreto.
Fila tutto ora?
a tal proposito cfr.
W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw Hill (3rd Ed.), p. 224
S. Lang, Complex Analysis, Springer (4th Ed.), p.167
http://en.wikipedia.org/wiki/Meromorphic_function
A questo punto è chiara la connessione di $Omega-P(f)$ nel caso di $Omega$ connesso;
$AAzinP(f)$ $EEepsilon=epsilon(z)>0$ t.c. $P(f)nnD_{epsilon(z)}(z)=emptyset$, $bar{D_{epsilon(z)}(z)}subOmega$ e $D_{epsilon(z)}(z)nnD_{epsilon(w)}(w)=emptyset$ se $z!=w$
$=> Omega-uuu_{z in P(f)}bar{D_{epsilon(z)}(z)}$ è un aperto connesso per archi, dunque è connesso
$=>$ a maggior ragione è connesso (per archi) $Omega-P(f)=lim_{epsilon->0}(Omega-uuu_{z in P(f)}bar{D_{epsilon(z)}(z)})$.
Per quanto riguarda
(2) del post iniziale, nell'ipotesi $f!=0$ meromorfa in $OmegasubCC$ aperto connesso e $Z(f)!=emptyset$:$P(f)$ discreto (per def. di meromorfa) $=>$ $Z(f)$ possono accumularsi solo su $partialOmega$.
Infine, per quanto riguarda i numeri del teor. dell'indice logaritmico, con le stesse notazioni del post iniziale:
#$(P(f)nnOmega_1)<=$#$(P(f)nnK)
$Z(f)$ è discreto in $Omega$ poiché $Omega-P(f)$ è connesso e $f!=0$ (dal'oss. precedente i poli non potrebbero acc. neanche su $P(f)nnK$)
$=>$ come prima, $KnnZ(f)$ è discreto.
Fila tutto ora?
Pare di sì.
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