Funzioni localmente lipschitziane
Salve a tutti.
Sto preparando l'orale di Analisi e mi servirebbe un chiarimento per quanto riguarda le funzioni localmente lip.
In particolare, per dimostrare che la funzione integrale è continua su un intervallo X, faccio vedere che è localmente lip. su X.
Ora, ciò che voglio dimostrare (perché il libro lo dà per scontato) è che effettivamente se una funzione è localmente lip. su X allora è continua su X.
Il problema è che io ho trovato due definizioni di funzione localmente lip:
1) \(f:X \to \mathbb{R} \) è localmente. lip se \( \forall x \in X\) esiste un intorno di \(x\),lo chiamo \(U\), tale che \( f_{|_{U}}\) sia lip.
2) la funzione definita come sopra è localmente lip. se e solo se è lip. su ogni intervallo compatto contenuto in \(X\). (questa è quella del mio libro)
Ora, nel primo caso sono riuscito a dimostrare che localmente lip implica continua (ogni w nell'insieme X ha un intorno in cui f è lip. e quindi in particolare è continua in w, cioè è continua in tutto X)
Ma nel secondo caso non so proprio cosa fare, e quindi ho pensato di far vedere che le due definizioni si equivalgono (e quindi, usare solo la 1 per dimostrare ciò che voglio)
Anche qui, penso di esser riuscito a mostrare che \( 1) \implies 2) \):
Sia \(C \) un compatto contenuto in \(X\), allora \(\forall c\in C\) esiste un intorno \(U_{c}\) (che possiamo supporre essere aperto, perché per definzione un intorno di c è un insieme che contiente un insieme aperto contente c) tale che \( f_{|_{U_c}}\) sia lip.
Posto quindi \(A=\bigcup_{c\in C} U_c\), si ha sicuramente che \(C \subseteq A\), cioè A è un ricoprimento aperto del compatto C, e quindi possiede un sottoricoprimento finito \(S=\bigcup_{\lambda \in F} A_{\lambda} \).
e la funzione è lip. su ogni \(A_{\lambda}\), allora adesso "che lavoro nel finito
" posso considerare \(L=max\{ l \in \mathbb{R} | l \text{ e costante di lip. per } f_{|_{A_{\lambda}}} \} \)
si ha che f ha L come costante di lip. su S, e quindi anche su \( C \subseteq S\), cioè f è lip. su C, come volevamo.
Invece per il viceversa non ho idee. Sarei grato a chiunque mi potesse dare una mano.
Grazie!
Sto preparando l'orale di Analisi e mi servirebbe un chiarimento per quanto riguarda le funzioni localmente lip.
In particolare, per dimostrare che la funzione integrale è continua su un intervallo X, faccio vedere che è localmente lip. su X.
Ora, ciò che voglio dimostrare (perché il libro lo dà per scontato) è che effettivamente se una funzione è localmente lip. su X allora è continua su X.
Il problema è che io ho trovato due definizioni di funzione localmente lip:
1) \(f:X \to \mathbb{R} \) è localmente. lip se \( \forall x \in X\) esiste un intorno di \(x\),lo chiamo \(U\), tale che \( f_{|_{U}}\) sia lip.
2) la funzione definita come sopra è localmente lip. se e solo se è lip. su ogni intervallo compatto contenuto in \(X\). (questa è quella del mio libro)
Ora, nel primo caso sono riuscito a dimostrare che localmente lip implica continua (ogni w nell'insieme X ha un intorno in cui f è lip. e quindi in particolare è continua in w, cioè è continua in tutto X)
Ma nel secondo caso non so proprio cosa fare, e quindi ho pensato di far vedere che le due definizioni si equivalgono (e quindi, usare solo la 1 per dimostrare ciò che voglio)
Anche qui, penso di esser riuscito a mostrare che \( 1) \implies 2) \):
Sia \(C \) un compatto contenuto in \(X\), allora \(\forall c\in C\) esiste un intorno \(U_{c}\) (che possiamo supporre essere aperto, perché per definzione un intorno di c è un insieme che contiente un insieme aperto contente c) tale che \( f_{|_{U_c}}\) sia lip.
Posto quindi \(A=\bigcup_{c\in C} U_c\), si ha sicuramente che \(C \subseteq A\), cioè A è un ricoprimento aperto del compatto C, e quindi possiede un sottoricoprimento finito \(S=\bigcup_{\lambda \in F} A_{\lambda} \).
e la funzione è lip. su ogni \(A_{\lambda}\), allora adesso "che lavoro nel finito
" posso considerare \(L=max\{ l \in \mathbb{R} | l \text{ e costante di lip. per } f_{|_{A_{\lambda}}} \} \)si ha che f ha L come costante di lip. su S, e quindi anche su \( C \subseteq S\), cioè f è lip. su C, come volevamo.
Invece per il viceversa non ho idee. Sarei grato a chiunque mi potesse dare una mano.
Grazie!
Risposte
Ricorda che $RR$ è localmente compatto.
Quindi, potrebbe essere una cosa del genere:
Essendo \(\mathbb{R}\) localmente compatto, ogni suo punto ha un intorno compatto, e in tale intorno f è lipschitziana per ipotesi.
Ma dato che io sto lavorando su un intervallo non degenere di \(\mathbb{R}\) , \(X\), è vero in generale che anche questi intervalli sono localmente compatti (cioè esiste un intorno compatto nella topologia relativa di \(X\)?
Presumo che io debba dimostrare che, \(\forall w\in X \) esiste un intorno del tipo
\( [w-\eta, w+\eta] \) (quindi un intorno compatto nei reali) tale che \([w-\eta, w+\eta] \cap X\) sia compatto (e quindi chiuso e limitato perché sono nei reali.
Immagino che si possa fare facilmente se distinguo i vari casi in cui l'intervallo X può presentarsi.
Però esiste un risultato generale? Purtroppo essendo al primo anno non ho ancora seguito un vero corso di topologia quindi tutto quello che so sono queste nozioni di base e anche un po' frammentarie..
Essendo \(\mathbb{R}\) localmente compatto, ogni suo punto ha un intorno compatto, e in tale intorno f è lipschitziana per ipotesi.
Ma dato che io sto lavorando su un intervallo non degenere di \(\mathbb{R}\) , \(X\), è vero in generale che anche questi intervalli sono localmente compatti (cioè esiste un intorno compatto nella topologia relativa di \(X\)?
Presumo che io debba dimostrare che, \(\forall w\in X \) esiste un intorno del tipo
\( [w-\eta, w+\eta] \) (quindi un intorno compatto nei reali) tale che \([w-\eta, w+\eta] \cap X\) sia compatto (e quindi chiuso e limitato perché sono nei reali.
Immagino che si possa fare facilmente se distinguo i vari casi in cui l'intervallo X può presentarsi.
Però esiste un risultato generale? Purtroppo essendo al primo anno non ho ancora seguito un vero corso di topologia quindi tutto quello che so sono queste nozioni di base e anche un po' frammentarie..
Ti stai un po' perdendo in un bicchier d'acqua, è veramente facile, ogni intorno di un punto $x_0$ ne contiene uno del tipo $[x_0-\epsilon,x_0+\epsilon]$.
Ok ma poi come faccio a essere sicuro che esiste un intorno di quel tipo tale che \([x_0 - \epsilon,x_0+\epsilon] \cap X \) sia a sua volta compatto? (Cioè lo so che è banale ma penso che andrebbe dimostrato (?))
Ammesso questo potrei effettivamente dire che
se \( x\in [w- \eta,w+\eta] \cap X \), (e quindi sta in un compatto) allora, essendo f lipschitziana su ogni compatto ha una costante di Lip: \(L\).
Fisso \(\epsilon>0\) e posto \(\delta=min\{\eta, \frac{\epsilon}{L}\} \) se
\(x\in ]w-\delta,w+\delta[ \cap X\) si ha
\(|f(x)-f(w)|\leq L|x-w|\leq L\delta\leq L\frac{\epsilon}{L}=\epsilon\)
Ammesso questo potrei effettivamente dire che
se \( x\in [w- \eta,w+\eta] \cap X \), (e quindi sta in un compatto) allora, essendo f lipschitziana su ogni compatto ha una costante di Lip: \(L\).
Fisso \(\epsilon>0\) e posto \(\delta=min\{\eta, \frac{\epsilon}{L}\} \) se
\(x\in ]w-\delta,w+\delta[ \cap X\) si ha
\(|f(x)-f(w)|\leq L|x-w|\leq L\delta\leq L\frac{\epsilon}{L}=\epsilon\)
"mario99":
Ok ma poi come faccio a essere sicuro che esiste un intorno di quel tipo tale che \([x_0 - \epsilon,x_0+\epsilon] \cap X \) sia a sua volta compatto?
Perchè \([x_0 - \epsilon,x_0+\epsilon] \cap X =[x_0 - \epsilon,x_0+\epsilon]\)
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