FUNZIONI LOCALMENTE G-INTEGRABILI

[studentean]

Sto studiando la teoria sulla continuita' della trasformata di fourier,vorrei sapere cosa significa che una funzione è localmente g-integrabile a assolutamente integrabile in R



grazie

[Luca.Lussardi]

La $g$-integrabilità mi è nuova, l'assoluta integrabilità è l'integrabilità del valore assoluto, con integrale finito, ed è anche detta sommabilità.

[studentean]

ok per l'assoluta integrabilità,ma la g-integrabilità? potrebbe riferirsi agli integrali di lebesgue?? mi ritrovo le condizioni sulle funzione che devono essere g- integrabili,ad esempio sui teoremi :

CONVERGENZA DOMINATA

RELAZIONE TRA TRASFORMATA DI FOURIER E LAPLACE

CONVOLUZIONE PER LA TRASFORMATA DI LAPLACE



mi sapete dare un aiuto?


THANKS

[gugo82]

Forse la g sta per generalmente, anche se non mi pare abbia molto senso dire che una funzione è generalmente integrabile...

Mi spiego: a quanto ne so, l'espressione generalmente è usata in Analisi per dire "fuori da un numero finito di punti in ogni intervallo limitato contenuto nel dominio" o cose del genere; quindi, mentre ha senso parlare di funzioni generalmente continue o generalmente derivabili, non vedo una possibile interpretazione corretta della locuzione generalmente integrabili perchè l'integrale (secondo Riemann ed a fortiori secondo Lebesgue) prescinde da insiemi di punti di misura nulla.

Sarebbe utile sapere che libro usi, così se qualcuno lo ha a portata di mano può darci un'occhiata e capirci qualcosa in più.

[studentean]

e' una parola.....nel senso che non studio su un libro,ho appunti di miei colleghi,presi dalle lezioni fatte dal professore,ad esempio:


ARGOMENTO: CONVOLUZIONE TRASFORMATA DI LAPLACE:

devo prendere 2 funzioni che sono:

-zero quando l'argomento e' negativo
-localmente G-integrabili in ogni intervello chiuso e limitato,ASSOLUTAMENTE integrabili tra 0 e +oo
-a crescita esponenziale

e poi dimostra la formula.........


Cosi' riuscite a capire cosa si intende per G-integrabilità??


THANKS

[Luca.Lussardi]

Resto con la mia ignoranza, non so cosa sia quella g. Non mi vedo molto d'accordo con Gugo82, la genericità è più una cosa da geometra, punti presi in modo generico, rette prese genericamente.... tutte questioni relative alle topologie di Zariski. In Analisi il termine "generalmente" non l'ho mai usato.

[gugo82]

[OT]

"Luca.Lussardi":Resto con la mia ignoranza, non so cosa sia quella g. Non mi vedo molto d'accordo con Gugo82, la genericità è più una cosa da geometra, punti presi in modo generico, rette prese genericamente.... tutte questioni relative alle topologie di Zariski. In Analisi il termine "generalmente" non l'ho mai usato.

Forse è un po' demodé come terminologia, fatto sta che l'ho trovata su alcuni dei testi di Analisi da cui ho studiato (specialmente nei più vecchi); cito la definizione:

Siano $X subseteq RR$ ed $f:Xto RR$.
Si dice che $f$ è generalmente continua in $X$ se essa è continua in tutti i punti di $X-A$, ove $Asubset X$ è un insieme di punti tale che $"card"(Acap (a,b)) Si dice che $f$ è generalmente derivabile in $X$ se essa è derivabile in tutti i punti di $X-A_1$, ove $A_1subset X$ è un insieme di punti tale che $"card"(A_1 cap (a,b))

Ad esempio ti cito il teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier così com'è enunciato sul libro di Analisi Complessa che ho usato, ossia Complementi di Analisi del prof. Greco:

Se $f$ è una funzione periodica di periodo $2pi$, generalmente continua e generalmente derivabile, con derivata prima generalmente continua e dotata di sole discontinuità di prima specie [n.d Gugo: queste sono le classiche condizioni di Dirichlet], la serie di Fourier di $f$ converge per tutti i valori di $x$.
La sua somma è $f(x)$ se $x$ è punto di continuità, è $1/2[f(x^+)+f(x^-)]$ se $x$ è punto di discontinuità.
Inoltre in ogni intervallo che non contienga punti di discontinuità di $f$ la convergenza è uniforme.

[/OT]
Ovviamente quanto detto finora non chiarisce la questione.

[amel3]

E se fosse semplicemente un esponente (quello che spesso è $p$ o anche $q$, cioè $p$-sommabile)?
No eh?... Mi sa proprio di no...

[gugo82]

"amel":E se fosse semplicemente un esponente (quello che spesso è $p$ o anche $q$, cioè $p$-sommabile)?
No eh?... Mi sa proprio di no...

Potrebbe pure essere, anche perchè la $p$ viene usata spesso come variabile della trasformata di Laplace, nel senso che alcuni autori scrivono $\mathcal{L}[f](p)=\int_0^(+oo)e^(-pt)*f(t)" d"t$ (specie nei vecchi testi; nei nuovi mi pare che la variabile della trasformata sia indicata solitamente con la lettera $s$)...

Quella di Amel è abbastanza plausibile come ipotesi, perchè da un senso alla locuzione "localmente g-integrabile" che pare appropriato al contesto.
Che ne dici Luca?

[Chevtchenko]

In genere per funzioni $G$-integrabili si intendono funzioni integrabili rispetto ad una misura $G$ a valori in uno spazio di Banach: si tratta di argomenti di teoria vettoriale della misura.

[Luca.Lussardi]

Non credo proprio ci sia di mezzo l'integrale di una funzione a valori in uno spazio di Banach (per altro non è banale definirlo), stiamo solo facendo la trasformata di Fourier.

Potrebbe essere ragionevole l'interpretazione data come esponente di sommabilità, ma si deve far vivo l'autore delle questioni, anche se mi lascia perplesso il fatto che abbia anche usato la G maiuscola, se fosse un esponente credo si userebbe g e non G. Vediamo che risponde.

[Fioravante Patrone1]

Io ho trovato questo:
http://www.dipmat.unipg.it/~gvinti/soluz/a206-07orv.pdf

vedi pagg. 9 e 10.

[gugo82]

"Fioravante Patrone":Io ho trovato questo:
http://www.dipmat.unipg.it/~gvinti/soluz/a206-07orv.pdf

vedi pagg. 9 e 10.

Posso azzardare che il testo trovato da FP chiarisce solo in parte la questione...

Nelle intenzioni di chi ha svolto quegli esercizi sembra che una funzione sia G-integrabile quando è dotata di integrale generalizzato (cioè improprio) convergente: però la particolarità dell'esempio riportato non chiarisce di che tipo ha da essere la convergenza dell'integrale, se assoluta o semplice.

Visto che per le funzioni ad integrale assolutamente convergente c'è un aggettivo apposito nel vocabolario matematico (ossia sommabile), sono propenso a credere che una funzione venga detta G-integrabile quando ha integrale anche solo semplicemente convergente...

Però, passatemi uno sfogo: perchè inventare un nuovo termine? Cosa c'è di male a chiedere "Questa funzione ha integrale improprio convergente?" o nello scrivere "Studiare la convergenza dell'integrale improprio..."?
Sarà che sono ingegneri e, per deformazione professionale, sono abituati a risparmiare su tutto!