Funzioni lipschitziane

[astrid93]

Ciao a tutti! Ho un problema con un esercizio:

Sia
\[
T(x) =\begin{cases}
e^{x/2} & x \leq 0 \\
x + e^{-x} & x>0
\end{cases}
\]
Dimostrare che \( |T(x) - T(y)|<|x-y| \, \forall x,y \in \mathbb{R} \).

Nel caso \(x,y\) siano entrambi o \(\leq 0\) o \(>0\) non ho problemi, ma non riesco a dimostrare la disuguaglianza nel caso \(x<0\) e \(y>0\). Grazie a chi potrà aiutarmi!

[feddy]

Se l'hai verificato su entrambi i rami... io direi che hai finito in pratica.

[feddy]

Mi spiego meglio: hai tutto quello che ti serve per concludere. Alla fine la funzione e' derivabile dappertutto, tranne che in $0$ dove il salto della derivata e' non nullo.
Io comincerei con $|T(x)-T(y)| \leq |T(x)-T(0)| + |T(0)-T(y)|$...

[astrid93]

Grazie mille per la risposta!
Quindi l'idea sarebbe di usare quello che ho già dimostrato per dire che
\[
|T(x)-T(y)| \leq |T(x)-T(0)| +|T(0)-T(y)| < |x-0|+|0-y|=|x|+|y|
\]
giusto?

[feddy]

Sì l'idea è quella. Ma tu non vuoi mostrare che $|T(x)-T(y)| < |x|+|y|$... bensì che è minore di $|x-y|$. Tuttavia, siccome $x>0$ e $y<0$, quello che hai è che:

$|T(x)-T(y)| \leq |T(x)-T(0)| +|T(0)-T(y)| < |x|+|-y| = x-y=|x-y|$ poichè $x-y>0$ per come ho scelto $x$ e $y$. Ti torna?

[astrid93]

Sì, adesso mi è tutto chiaro! Grazie mille per l'aiuto!

[feddy]

Prego