Funzioni lipschitziane
La definizione riportata sul libro di analisi è la seguente:
Sia $ f:[a,b]->RR $ , $ f $ si dice lipschitziana se esiste una costante positiva $ L $ tale che $ |f(x)-f(y)|<=L|x-y| $ , $ AA x,yin RR $.
Se applico la definizione al seguente esercizio:
Dire se la funzione è lipschitziana
$ y=x $ se $ 1<=x<=2 $
$ y=1/2 $ se $ 2
La funzione non essendo continua nell'intervallo $ [1,3] $ non dovrebbe essere lipschitziana eppure applicando la definizione e considerando ad esempio $ x=3/2 $ e $ y=5/2 $ otteniamo che esistono $ L>=1 $ per cui la funzione è lipschitziana.
Dove sbaglio? potreste darmi chiarimenti su quando una funzione è lipschitziana?
Grazie.
Sia $ f:[a,b]->RR $ , $ f $ si dice lipschitziana se esiste una costante positiva $ L $ tale che $ |f(x)-f(y)|<=L|x-y| $ , $ AA x,yin RR $.
Se applico la definizione al seguente esercizio:
Dire se la funzione è lipschitziana
$ y=x $ se $ 1<=x<=2 $
$ y=1/2 $ se $ 2
La funzione non essendo continua nell'intervallo $ [1,3] $ non dovrebbe essere lipschitziana eppure applicando la definizione e considerando ad esempio $ x=3/2 $ e $ y=5/2 $ otteniamo che esistono $ L>=1 $ per cui la funzione è lipschitziana.
Dove sbaglio? potreste darmi chiarimenti su quando una funzione è lipschitziana?
Grazie.
Risposte
Deve esistere una costante $L$ tale che quella disuguaglianza vale per ogni $x, y \in [a,b]$.
Vediamo di chiarire il tuo esempio:
se per assurdo fosse lipschitziana in $[1,3]$ esisterebbe una costante $L$ positiva tale che $|f(x) - f(y)| \le L |x - y|$ per ogni $x,y \in [1,3]$.
Prese $x_n \uparrow 2$ e $y_n \downarrow 2$ due successioni in $[1,3]$, avresti
\[ |f(x_n) - f(y_n)| \le L |x_n - y_n| \;\;\;\; \forall n \;\; ;\]
passando al limite per $n \to \infty$:
\[ 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \le 0 \;.\]
Vediamo di chiarire il tuo esempio:
se per assurdo fosse lipschitziana in $[1,3]$ esisterebbe una costante $L$ positiva tale che $|f(x) - f(y)| \le L |x - y|$ per ogni $x,y \in [1,3]$.
Prese $x_n \uparrow 2$ e $y_n \downarrow 2$ due successioni in $[1,3]$, avresti
\[ |f(x_n) - f(y_n)| \le L |x_n - y_n| \;\;\;\; \forall n \;\; ;\]
passando al limite per $n \to \infty$:
\[ 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \le 0 \;.\]
Non introducendo le successioni durante il corso di analisi 1, potresti cercare di spiegarmi cosa intendi con ciò che hai scritto (oppure senza usare le successioni). Grazie in anticipo.
Lascia perdere il mio precedente post. Il succo è che il tuo ragionamento sull'esempio che hai dato è inconcludente ai fini di provare o falsificare la lipschitzianità della funzione considerata.
Per il resto non capisco cosa non ti è chiaro.
Per il resto non capisco cosa non ti è chiaro.
Cosa si vuole indicare quando una funzione è lipschitziana?
Beh, la definizione l'hai scritta sopra...
In effetti forse mi sono espresso male. Qual è il suo significato geometrico ? E' una condizione più "forte" della continuità?
Funzione lipschitziana , in un certo intervallo, vuol dire funzione con derivata limitata, non tendente all'$oo $ e quindi geometricamente non a tangente verticale.
"Camillo":
Funzione lipschitziana , in un certo intervallo, vuol dire funzione con derivata limitata, non tendente all'$oo $ e quindi geometricamente non a tangente verticale.
Questo però solo se ha senso parlare di derivata...
In termini di rapporti incrementali "$f$ lipschitziana in un certo intervallo $I$" significa che i rapporti incrementali di $f$ (costruiti su punti dell'intervallo $I$) sono equilimitati.
Grazie a entrambi.
Geometricamente parlando, siano \(\mathcal{M}_1\) e \(\mathcal{M}_2\) degli spazi metrici. Una funzione \(f\colon\mathcal{M}_1\to\mathcal{M}_2\) continua è Lipschitziana se l'immagine di palle aperte è contenuta in palle aperte il cui raggio è al più \(L\) volte più grande.
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