Funzioni libere

[patojo]

Salve a tutti, in questi appunti http://marf2.uniroma1.it/blasi/esercitazione1.pdf viene spiegato come si trovano i punti di estremo nelle funzioni di 2 variabili, ma se volessi studiare funzioni di 3 variabili che metodo dovrei adottare? Devo calcolare esplicitamente il valore degli autovalori e vedere il segno di ognuno o c'è un altro metodo?

[Luca.Lussardi]

La regoletta del determinante vale solo in dimensione $2$; in dimensione maggiore di $2$ devi trovarti gli autovalori, che devono venirti reali, dal momento che l'Hessiana è una matrice simmetrica, e da lì la classificazione.

[Sk_Anonymous]

non è vero...c'è un altro metodo
appena lo trovo lo posto

[Luca.Lussardi]

Quel "non è vero" potrebbe far credere che la regoletta la usi anche in dimensione maggiore di $2$. Attenzione, ribadisco che la regola del file postato vale solo per funzioni di due variabili. Che poi ci siano altri metodi generali può essere, ma quella regola non si generalizza.

[Sk_Anonymous]

Sia $f(x,y,z)$ continua in un dominio $D$ ed avente all'interno le derivate parziali prime e seconde continue;
si dice HESSIANO della $f(x,y,z)$ il determinante:


$H(x,y,z)=|(f''_(xx),f''_(xy),f''_(xz)),(f''_(yx),f''_(yy),f''_(yz)),(f''_(zx),f''_(zy),f''_(zz))|$

Sia $P_0(x_0,y_0,z_0)$ interno a $D$

esso è candidato ad essere estremo relativo SOLO quando si ha:

$f'_x(P_0)=0,f'_y(P_0)=0,f'_z(P_0)=0$
verificate contemporaneamente le tre uguaglianze allora:

1) se in $P_0$ valgono le diseguaglianze :
$f''_(xx)>0$, $|(f''_(xx),f''_(xy)),(f''_(yx),f''_(yy))|>0$, $H(P_0)>0$
allora ivi la funzione ha un minimo relativo

2) se invece di $>0,>0,>0$ in $P_0$ valgono le diseguaglianze $<0,>0,<0$
allora ivi la funzione ha un massimo relativo

3)se in $P_0$ risulta
$|(f''_(xx),f''_(xy)),(f''_(yx),f''_(yy))|<0$

allora ivi la funzione non ammette nè max nè min

[Sk_Anonymous]

che ne dite?

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Lo hai visto in analisi 2? Noi ci fermammo alle varietà bidimensionali.

[Sk_Anonymous]

si,ma ne usavo uno analogo in dimensione 2....mi interesserebbe il parere di luca

[Luca.Lussardi]

Può anche essere che sia vero (personalmente non l'ho mai usato, preferisco il calcolo degli autovalori, è molto più diretto). Io non ho negato l'esistenza di altri metodi, ho solo detto che la regoletta in dimensione $2$ non si trasporta alla dimensione $3$, e confermo che è così.

[Sk_Anonymous]

"Luca.Lussardi":Può anche essere che sia vero (personalmente non l'ho mai usato, preferisco il calcolo degli autovalori, è molto più diretto). Io non ho negato l'esistenza di altri metodi, ho solo detto che la regoletta in dimensione $2$ non si trasporta alla dimensione $3$, e confermo che è così.

beh......questa "regoletta" non diretta come la tua (che significa????) vale anche in dimensione 2 il che la rende importante.

[Luca.Lussardi]

Quello che dico io è che in $R^3$ non vale la regola: faccio il determinante dell'hessiano e guardo poi il segno del primo termine in alto a sinistra nella matrice.

Questa è la regola che lo studente generalizza alla dimensione 3; per esperienza diretta so che gli studenti fanno così, per cui io evito di spiegare la regoletta in dimensione 2, facendo trovare sempre gli autovalori.