Funzioni $L^1$ loc e distribuzioni funzioni
Ciao a tutti, vi riporto un passaggio un pò oscuro tratto dal libro del mio professore di Analisi 3.
La dimostrazione è omessa ma dalla definizione $T_f( \varphi ) := int_{-oo}^{+oo} f(t) \varphi(t)dt$ si prova subito la tesi considerando che, per essere gli integrali identici, gli integrandi devono coincidere ovunque tranne al più in un insieme di misura nulla.
Ora... l'osservazione che fa dopo mi lascia un pò perplesso:
Ora... tutto questo è valido solo a livello nozionistico, o sbaglio? Cioè, dovendo essere rigorosi, non capisoc come possa una distribuzione funzione essere uguale alla funzione da essa individuata.. E lo stesso spazio $D'$ definito come lo spazio dei funzionali lineari e continui su D, come fa a contenere lo spazio $L^1_{"loc"}$ delle funzioni localmente sommabili definite in $R$ ? Non sono spazi totalmente differenti, dato che $D$ è uno spazio di funzioni ed $R$ uno spazio di... numeri?
E' questo il mio dubbio alla fine.. Distribuzioni e funzioni non sono cose diverse?
ALTRO DUBBIO:
Lo spazio di Schwartz è definito come lo spazio delle funzioni di classe $C^oo$ a decrescenza rapida.
Lo spazio $S'$ è definito dai funzionali lineari e continui su tale $S$, ed è descrivibile dalle distribuzioni funzioni di funzioni a crescenza lenta o dalle derivate distibuzionali di funzioni a crescenza lenta.
E' possibile definire anche qui una relazione di inclusione ( immersione ) come $D sub D'$ ?
Lo stesso discorso si potrebbe applicare agli spazi $\epsilon'$ ed $\epsilon$.
Grazie in anticipo!
Teorema 7.2.1
Siamo $f,g in L^1_{"loc"}$, $T_f, T_g$ le distribuzioni funzioni ad esse associate.
Il fatto $t_f = T_g$ implica $f=g$ quasi ovunque in $RR$.
La dimostrazione è omessa ma dalla definizione $T_f( \varphi ) := int_{-oo}^{+oo} f(t) \varphi(t)dt$ si prova subito la tesi considerando che, per essere gli integrali identici, gli integrandi devono coincidere ovunque tranne al più in un insieme di misura nulla.
Ora... l'osservazione che fa dopo mi lascia un pò perplesso:
Grazie al Teorema 7.2.1 possiamo porre $t_f = f$. Identificheremo, cioè, una funzione localmente sommabile con la distribuzione da essa individuata, e scriveremo:
(7.2.2) $ L^1_{"loc"} sub D' $
Ora... tutto questo è valido solo a livello nozionistico, o sbaglio? Cioè, dovendo essere rigorosi, non capisoc come possa una distribuzione funzione essere uguale alla funzione da essa individuata.. E lo stesso spazio $D'$ definito come lo spazio dei funzionali lineari e continui su D, come fa a contenere lo spazio $L^1_{"loc"}$ delle funzioni localmente sommabili definite in $R$ ? Non sono spazi totalmente differenti, dato che $D$ è uno spazio di funzioni ed $R$ uno spazio di... numeri?
E' questo il mio dubbio alla fine.. Distribuzioni e funzioni non sono cose diverse?
ALTRO DUBBIO:
Lo spazio di Schwartz è definito come lo spazio delle funzioni di classe $C^oo$ a decrescenza rapida.
Lo spazio $S'$ è definito dai funzionali lineari e continui su tale $S$, ed è descrivibile dalle distribuzioni funzioni di funzioni a crescenza lenta o dalle derivate distibuzionali di funzioni a crescenza lenta.
E' possibile definire anche qui una relazione di inclusione ( immersione ) come $D sub D'$ ?
Lo stesso discorso si potrebbe applicare agli spazi $\epsilon'$ ed $\epsilon$.
Grazie in anticipo!
Risposte
Certo, formalmente distribuzioni e funzioni sono cose molto diverse, ma ti è stato appena illustrato in che senso ad una funzione (ma deve essere $L_{"loc"}^1$ eh) corrisponde una e una sola distribuzione. Se vuoi puoi dire: esiste in $ccD'$ una copia di $L_{"loc"}^1$. Se invece cerchi proprio il massimo formalismo, puoi dire: sia $X$ il sottospazio di $ccD'$ costituito dalle distribuzioni $T$ per cui esiste $f \in L_{"loc"}^1$ t.c. $T=T_f$. $X$ e $L_{"loc"}^1$ sono in corrispondenza biunivoca e perciò, con abuso di notazione, ci riferiamo ad entrambi come ad $L_{"loc"}^1$. Ecco, va meglio adesso?
Si, va molto meglio 
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