Funzioni L1
la traccia dell'esercizio chiede di verificare che $\nabla f$ $\in$ $[L^1(B_R)]^n $ dove $B_R={x \in \mathbb{R}^n : \|\| x \|\|
la mia idea è quella di vedere se $\int_{[0,R]} \|\nabla f\| dx<\infty $
la $f(x)= cosh\|\|x\|\|^\beta$
il problema è che quando vado a calcolare il gradiente ho $x$ oltre alla sua norma quindi non posso attuare la posizione $ r=\|\|x\|\|$ e $\int_[ \mathbb{R}^n] f(x) dx= \omega_n \int_{[0,\infty]} r^(n-1)g(r)dr$ .
Qualcuno sa come posso verificare che $\nabla f$ $\in$ $[L^1(B_R)]^n $ ??
la mia idea è quella di vedere se $\int_{[0,R]} \|\nabla f\| dx<\infty $
la $f(x)= cosh\|\|x\|\|^\beta$
il problema è che quando vado a calcolare il gradiente ho $x$ oltre alla sua norma quindi non posso attuare la posizione $ r=\|\|x\|\|$ e $\int_[ \mathbb{R}^n] f(x) dx= \omega_n \int_{[0,\infty]} r^(n-1)g(r)dr$ .
Qualcuno sa come posso verificare che $\nabla f$ $\in$ $[L^1(B_R)]^n $ ??
Risposte
La derivata parziale della funzione rispetto a $x_i$ risulta
$f_{x_i}=\beta x_i\ ||x||^{\beta-2}\ \sinh ||x||^\beta$
per cui il gradiente risulta
$\nabla f=\beta||x||^{\beta-2}\ \sinh||x||^\beta\ \vec{r}$
essendo $\vec{r}=(x_1,\ldots,x_n)$
Ora
$|\nabla f|=\beta||x||^{\beta-2}\ |\sinh||x||^\beta\|\ |\vec{r}|=\beta||x||^{\beta-1}\ |\sinh||x||^\beta|$
dal momento che $|\vec{r}|=||x||$. Ora, sappiamo che $||x||
\[|\nabla f|\left\{\begin{array}{lcl}
\le \beta R^{\beta-1}\sinh(R^\beta) & & \beta\ge 1\\ & & \\
\le \beta||x||^{\beta-1}\sinh(R^\beta) & & 0\le\beta<1\\ & & \\
\ge\frac{\beta}{R^{\beta-1}}\sinh(\frac{1}{R^\beta}) & & \beta<0
\end{array}\right.\]
Questo ti dovrebbe permettere di capire cosa succede.
$f_{x_i}=\beta x_i\ ||x||^{\beta-2}\ \sinh ||x||^\beta$
per cui il gradiente risulta
$\nabla f=\beta||x||^{\beta-2}\ \sinh||x||^\beta\ \vec{r}$
essendo $\vec{r}=(x_1,\ldots,x_n)$
Ora
$|\nabla f|=\beta||x||^{\beta-2}\ |\sinh||x||^\beta\|\ |\vec{r}|=\beta||x||^{\beta-1}\ |\sinh||x||^\beta|$
dal momento che $|\vec{r}|=||x||$. Ora, sappiamo che $||x||
\[|\nabla f|\left\{\begin{array}{lcl}
\le \beta R^{\beta-1}\sinh(R^\beta) & & \beta\ge 1\\ & & \\
\le \beta||x||^{\beta-1}\sinh(R^\beta) & & 0\le\beta<1\\ & & \\
\ge\frac{\beta}{R^{\beta-1}}\sinh(\frac{1}{R^\beta}) & & \beta<0
\end{array}\right.\]
Questo ti dovrebbe permettere di capire cosa succede.
posso fare semplicemente: $\int_{[0,R]} \nabla f dx = (f(x))_{[0,R]} +c$ ????? e se qst è finito è $L1...$
No che non puoi, mica hai una funzione di una variabile reale.
Devi tenere conto dell'indice $\beta$ in quanto ci sono casi in cui l'integrale esplode quando $||x||\to 0$.
Devi tenere conto dell'indice $\beta$ in quanto ci sono casi in cui l'integrale esplode quando $||x||\to 0$.
ma io ho \beta>1
E benedetto figlio/figlia, dove cavolo lo hai scritto? Che mi hai fatto perdere tempo inutilmente?????
scusa ho scritto una cavolata cmq nel caso in cui invece di $\beta$ ho un numero lo posso fare????
Se fosse $\beta>1$ quello che puoi dire è che la funzione $|\nabla f|$ è continua sulla palla (che è un compatto) per cui esiste un massimo in essa (teorema di Weierstrass) che puoi indicare con $M$. Allora
$\int_{B(0,R)}|\nabla f|\ dx\le M\cdot|B(0,r)|$
dove $|B(0,r)|$ è la misura della palla (ed è finita).
Io credo che tu però debba determinare per quali $\beta$ hai l'appartenenza ad $L^1$.
$\int_{B(0,R)}|\nabla f|\ dx\le M\cdot|B(0,r)|$
dove $|B(0,r)|$ è la misura della palla (ed è finita).
Io credo che tu però debba determinare per quali $\beta$ hai l'appartenenza ad $L^1$.
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