Funzioni invertibili e loro derivate
Ho provato ad eseguire i seguenti esercizi sulle funzioni invertibili e le loro derivate, posto di seguito esercizi, risultati e passaggi per una conferma sui dubbi che ho in merito.
Trovare le inverse delle funzioni seguenti:
[tex]y=\frac{1}{x+1}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/tex]
essendo la derivata della funzione uguale a [tex]-\frac{1}{(x+1)^2}[/tex] decrescente per tutto il dominio e quindi biunivoca
la funzione inversa risulta essere $ y=1/x $[tex]-1[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/tex] non sono sicurissimo sugli intervalli di definizione di dominio e codominio ma la regola per l'inversione dice che il dominio di [tex]f(x)[/tex] diventa il codominio di [tex]{f}^{-1}(x)[/tex] e viceversa indi per cui dovrebbe essere corretto...
[tex]y=\frac{x}{1+x}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)[/tex]
la derivata di tale funzione risulta essere [tex]\frac{1}{(1+x)^2}[/tex] sempre crescente per il dominio della funzione in oggetto [tex]\Rightarrow f(x)[/tex] biunivoca, per cui si ottiene l'inversa [tex]y=\frac{x}{1-x}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/tex]
[tex]y=\frac{1-2x}{1+x}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)[/tex]
la derivata della funzione in oggetto risulta essere [tex]-\frac{3}{(1+x)^2}[/tex] sempre decrescente [tex]\Rightarrow f(x)[/tex] biunivoca ed invertibile, l'inversa è perciò [tex]y=-\frac{x-1}{2+x}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/tex]
[tex]y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-1;1)[/tex]
la derivata di tale funzione è uguale a [tex]\frac{1}{x^2+1}[/tex] sempre positiva [tex]\Rightarrow f(x)[/tex] biunivoca ed invertibile, la cui inversa è [tex]y=\frac{|{x}|}{sqrt{1-x^2}}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-1;1)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;+\infty)[/tex]
[tex]f(x)=\begin{cases}
x^2+1 & \text{ se } x\geq 0 \\
x+1 & \text{ se } x<0
\end{cases}[/tex]
la funzione è biunivoca in quanto continua e crescente in entrambi gli intervalli in quanto le derivate risultano essere [tex]2x[/tex] per [tex]x\geq0[/tex] e [tex]1[/tex] per [tex]x<0[/tex] pertanto essendo invertibile l'inversa risulta essere uguale a
[tex]{f}^{-1}(x)=\begin{cases}
\sqrt{x-1} & \text{ se } x\geq 1 \\
x-1 & \text{ se } x<1
\end{cases}[/tex]
[tex]h(x)=x|{x}|+1[/tex]
[tex]h(x)=\begin{cases}
x^2+1 & \text{ se } x\geq 0 \\
-x^2+1 & \text{ se } x<0
\end{cases}[/tex]
[tex]{h}^{\prime}(x)=\begin{cases}
2x & \text{ se } x\geq 0 \\
-2x & \text{ se } x<0
\end{cases}[/tex]
pertanto risultando la funzione crescente essa è biunivoca ed invertibile e la sua inversa è
[tex]{h}^{-1}(x)=\begin{cases}
\sqrt{x-1} & \text{ se } x\geq 1 \\
\sqrt{1-x} & \text{ se } x<1
\end{cases}[/tex]
Determinare le derivata della funzioni inversa della funzione data:
[tex]y=1+2x^3[/tex] [tex]x=f(y)=\sqrt[3]{\frac{y-1}{2}}[/tex] ed essendo [tex]{({f}^{-1})}^{\prime}(x)=\frac{1}{{f}^{\prime}(y)}\Rightarrow {({f}^{-1})}^{\prime}(x)=\sqrt[3]{\frac{(y-1)^2}{\sqrt[3]{4}}}=\sqrt[3]{\frac{4x^6}{\sqrt[3]{4}}}=\sqrt[3]{x^6}[/tex]
Grazie in anticipo a tutti e buona giornata!
Trovare le inverse delle funzioni seguenti:
[tex]y=\frac{1}{x+1}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/tex]
essendo la derivata della funzione uguale a [tex]-\frac{1}{(x+1)^2}[/tex] decrescente per tutto il dominio e quindi biunivoca
la funzione inversa risulta essere $ y=1/x $[tex]-1[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/tex] non sono sicurissimo sugli intervalli di definizione di dominio e codominio ma la regola per l'inversione dice che il dominio di [tex]f(x)[/tex] diventa il codominio di [tex]{f}^{-1}(x)[/tex] e viceversa indi per cui dovrebbe essere corretto...
[tex]y=\frac{x}{1+x}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)[/tex]
la derivata di tale funzione risulta essere [tex]\frac{1}{(1+x)^2}[/tex] sempre crescente per il dominio della funzione in oggetto [tex]\Rightarrow f(x)[/tex] biunivoca, per cui si ottiene l'inversa [tex]y=\frac{x}{1-x}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/tex]
[tex]y=\frac{1-2x}{1+x}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)[/tex]
la derivata della funzione in oggetto risulta essere [tex]-\frac{3}{(1+x)^2}[/tex] sempre decrescente [tex]\Rightarrow f(x)[/tex] biunivoca ed invertibile, l'inversa è perciò [tex]y=-\frac{x-1}{2+x}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/tex]
[tex]y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-\infty;+\infty)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-1;1)[/tex]
la derivata di tale funzione è uguale a [tex]\frac{1}{x^2+1}[/tex] sempre positiva [tex]\Rightarrow f(x)[/tex] biunivoca ed invertibile, la cui inversa è [tex]y=\frac{|{x}|}{sqrt{1-x^2}}[/tex] [tex]{D}_{f}=(-1;1)[/tex] [tex]{C}_{f}=(-\infty;+\infty)[/tex]
[tex]f(x)=\begin{cases}
x^2+1 & \text{ se } x\geq 0 \\
x+1 & \text{ se } x<0
\end{cases}[/tex]
la funzione è biunivoca in quanto continua e crescente in entrambi gli intervalli in quanto le derivate risultano essere [tex]2x[/tex] per [tex]x\geq0[/tex] e [tex]1[/tex] per [tex]x<0[/tex] pertanto essendo invertibile l'inversa risulta essere uguale a
[tex]{f}^{-1}(x)=\begin{cases}
\sqrt{x-1} & \text{ se } x\geq 1 \\
x-1 & \text{ se } x<1
\end{cases}[/tex]
[tex]h(x)=x|{x}|+1[/tex]
[tex]h(x)=\begin{cases}
x^2+1 & \text{ se } x\geq 0 \\
-x^2+1 & \text{ se } x<0
\end{cases}[/tex]
[tex]{h}^{\prime}(x)=\begin{cases}
2x & \text{ se } x\geq 0 \\
-2x & \text{ se } x<0
\end{cases}[/tex]
pertanto risultando la funzione crescente essa è biunivoca ed invertibile e la sua inversa è
[tex]{h}^{-1}(x)=\begin{cases}
\sqrt{x-1} & \text{ se } x\geq 1 \\
\sqrt{1-x} & \text{ se } x<1
\end{cases}[/tex]
Determinare le derivata della funzioni inversa della funzione data:
[tex]y=1+2x^3[/tex] [tex]x=f(y)=\sqrt[3]{\frac{y-1}{2}}[/tex] ed essendo [tex]{({f}^{-1})}^{\prime}(x)=\frac{1}{{f}^{\prime}(y)}\Rightarrow {({f}^{-1})}^{\prime}(x)=\sqrt[3]{\frac{(y-1)^2}{\sqrt[3]{4}}}=\sqrt[3]{\frac{4x^6}{\sqrt[3]{4}}}=\sqrt[3]{x^6}[/tex]
Grazie in anticipo a tutti e buona giornata!
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