Funzioni Invertibili

[M4rk1]

Salve ragazzi, ho un problema... Ho la seguente funzione:
$|e^(4x) - sin(3x) - 2cos(x)| - x^2$
e mi si richiede di determinare se la funzione è invertibile in un intorno di $x_0=0$. Prima di fare i conti e studiare se è invertibile o no, vorrei chiedervi se il ragionamento è giusto...

- Una funzione è invertibile se è strettamente monotona;
- Per vedere se una funzione è monotona studio il segno della derivata prima;
- Prima di studiare la derivata prima occorre sviluppare il modulo.

Credo che sia giusto il ragionamento..o no?

[M4rk1]

nessuno può aiutarmi? oppure devo postare il procedimento dei calcoli?

[Seneca1]

Certo. Però c'è modo e modo di fare quei ragionamenti; poiché la funzione $g(x) = e^(4x) - sin(3x) - 2cos(x)$ è continua in $x_0 = 0$ e $g(0) = - 1 < 0$, per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno $U$ di $0$ tale che $g(x) < 0 , \forall x \in U$.

Allora, per $x \in U$, $f(x) = \sin(3x) - e^(4x) + 2 cos(x) - x^2$.

Analogamente consideri la derivata prima di $f_{|U}$, $d/(dx) f_{|U}$. Se $d/(dx) f_{|U}(0) = c \in RR \setminus \{0\}$ hai concluso. Infatti puoi utilizzare lo stesso argomento di continuità che sfrutta la permanenza del segno.

EDIT: ... questo per mostrarti che non devi necessariamente svolgere il valore assoluto o studiare il segno della derivata in tutto il dominio di definizione.

[Mrs92]

oppure potresti vedere se la funzione è pari, in quel caso, se lo è, restringi lìintervallo in cui è monotona e quindi invertibile.