Funzioni integrali lipschitziane
Ciao,
devo dimostrare che la funzione integrale
$$f(x)=\int_0^{\sqrt{\log(2+\arctan x)}}e^{t^2}\ dt$$
è lipschitziana in $\mathbb{R}$.
Per farlo vorrei usare il teorema che dice che se $f'$ è limitata in $\mathbb{R}$, allora $f$ è lipschitziana in $\mathbb{R}$.
Facendo alcuni passaggi, la derivata prima di $f$ risulta
$$f'(x)=\frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\log(2+\arctan x)}}$$
Ma di quest'ultima, non posso dire che è definita in tutto $\mathbb{R}$, pertanto, anche se trovassi una limitazione di $f'$ non potrei dedurre che $f$ è lipschitziana in tutto $\mathbb{R}$, ma soltanto nel dominio della $f'$.
Qualche idea?
devo dimostrare che la funzione integrale
$$f(x)=\int_0^{\sqrt{\log(2+\arctan x)}}e^{t^2}\ dt$$
è lipschitziana in $\mathbb{R}$.
Per farlo vorrei usare il teorema che dice che se $f'$ è limitata in $\mathbb{R}$, allora $f$ è lipschitziana in $\mathbb{R}$.
Facendo alcuni passaggi, la derivata prima di $f$ risulta
$$f'(x)=\frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\log(2+\arctan x)}}$$
Ma di quest'ultima, non posso dire che è definita in tutto $\mathbb{R}$, pertanto, anche se trovassi una limitazione di $f'$ non potrei dedurre che $f$ è lipschitziana in tutto $\mathbb{R}$, ma soltanto nel dominio della $f'$.
Qualche idea?
Risposte
Il dominio di $f$ è tutto $RR$?
"dan95":
Il dominio di $f$ è tutto $RR$?
Giusta osservazione. Il dominio dell'integranda è tutto $\mathbb{R}$, mentre quello dell'estremo superiore dell'integrale è $x\ge -\tan(1)$. Poichè il punto iniziale della $f$ è 0, posso dire che il suo dominio è $[0,+\infty[$
Dunque non sarà mai lipschitziana in tutto $\mathbb{R}$
