Funzioni integrali

[BOYPRO44]

Sbaglio oppure le funzioni integrali non possono avere discontinuità nel proprio dominio. Il loro dominio si compone sempre di un unico intervallo. Stessa cosa ovviamente non vale per la derivabilità... Mi potete dare conferma oppure farmi capire se sbaglio?? Grazie mille

[Mephlip]

Fissato $a \in \mathbb{R}$ e detta $F_a (x)=\int_a^x f(t)\text{d}t$ la funzione integrale di $f$ di costante $a$, se $f$ è limitata allora $F_a$ è continua (in realtà, è di più: è lipschitziana). Quindi, se si considerano integrali secondo Riemann, non sbagli.

Sempre nel contesto di integrali secondo Riemann, per la derivabilità devi assumere innanzitutto che $f$ sia continua (altrimenti non vale il teorema fondamentale del calcolo integrale e quindi neanche sai se $F_a$ è derivabile). In tal caso, sempre dal teorema fondamentale del calcolo, segue che $(F_a (x))'=f(x)$ e quindi, essendo $f$ solamente continua, non possiamo dire nulla in generale sulla sua derivabilità di $F_a$ e quindi, tantomeno, sulle discontinuità della derivata (se è questo che intendevi con "stessa cosa non vale per la derivabilità").

[gugo82]

"DonnolaNera":Sbaglio oppure le funzioni integrali non possono avere discontinuità nel proprio dominio.

"DonnolaNera":Il loro dominio si compone sempre di un unico intervallo.

Non stai dicendo la stessa cosa.
Dovresti chiarire (a te stesso ed a noi) cosa vuoi sapere.

"DonnolaNera":Stessa cosa ovviamente non vale per la derivabilità...

'Stessa cosa' di cosa?