Funzioni integrali
ciao a tutti,mi sono trovata ad aiutare un ragazzo a preparare un esame,e mi è stato posto questo quesito
sio $f(x)$ funzione così definita
$f(x)={(x,text{se } 0<=x<=1),(2x-x^2,text{se }1<=x<=2):}$
trovare una funzione integrale $F(x)$ tale che $F'(x)=f(x)$
io avrei proposto come soluzione
$F(x)={(\int_0^x t dt,text{se } 0<=x<=1),(\int_0^x 2t-t^2 dt,text{se }1<=x<=2):}$
infatti applicando la formula $(\int_(h(x))^(g(x)) f(t) dt)'=g'(x)f(g(x))-h'(x)f(h(x))$ ottengo esattamente la funzione del testo
tuttavia mi viene data come soluzione
$F(x)={(\int_0^x t dt,text{se } 0<=x<=1),(\int_0^1 t dt + \int_1^x 2t-t^2 dt,text{se }1<=x<=2):}$
(spero di aver scritto tutto giusto,il testo è un appunto del ragazzo che potrebbe anche aver sbagliato a scrivere qualcosina)
perche questa soluzione? in fondo $\int_0^1 t dt$ è una costante e quindi nell'operazione di derivazione scompare
l'unico motivo plausibile che mi è venuto in mente è cercare di ottenere una $F(x)$ continua in 1, ma perchè è necessario farlo?non va bene una qualunque funzione anche discontinua purchè la sua derivata sia $f(x)$?
sio $f(x)$ funzione così definita
$f(x)={(x,text{se } 0<=x<=1),(2x-x^2,text{se }1<=x<=2):}$
trovare una funzione integrale $F(x)$ tale che $F'(x)=f(x)$
io avrei proposto come soluzione
$F(x)={(\int_0^x t dt,text{se } 0<=x<=1),(\int_0^x 2t-t^2 dt,text{se }1<=x<=2):}$
infatti applicando la formula $(\int_(h(x))^(g(x)) f(t) dt)'=g'(x)f(g(x))-h'(x)f(h(x))$ ottengo esattamente la funzione del testo
tuttavia mi viene data come soluzione
$F(x)={(\int_0^x t dt,text{se } 0<=x<=1),(\int_0^1 t dt + \int_1^x 2t-t^2 dt,text{se }1<=x<=2):}$
(spero di aver scritto tutto giusto,il testo è un appunto del ragazzo che potrebbe anche aver sbagliato a scrivere qualcosina)
perche questa soluzione? in fondo $\int_0^1 t dt$ è una costante e quindi nell'operazione di derivazione scompare
l'unico motivo plausibile che mi è venuto in mente è cercare di ottenere una $F(x)$ continua in 1, ma perchè è necessario farlo?non va bene una qualunque funzione anche discontinua purchè la sua derivata sia $f(x)$?
Risposte
La risposta è semplice: la funzione $f$ è definita su $[0,2]$, questo vuol dire che la sua funzione integrale è data da
$$F(x)=\int_0^x f(t)\ dt,\qquad x\in[0,2]$$
Ora si ha
$$F(x)=\int_0^x f_1(t)\ dt,\qquad x\in[0,1]$$
mentre
$$F(x)=\int_0^1 f_1(t)\ dt+\int_1^x f_2(t)\ dt$,\qquad x\in[1,2]$$
a causa del fatto che la funzione data è definita in più rami. Il concetto che sta alla base è che devi applicare la regola di decomposizione degli integrali, secondo gli intervalli di definizione, per calcolare $F(x)$.
$$F(x)=\int_0^x f(t)\ dt,\qquad x\in[0,2]$$
Ora si ha
$$F(x)=\int_0^x f_1(t)\ dt,\qquad x\in[0,1]$$
mentre
$$F(x)=\int_0^1 f_1(t)\ dt+\int_1^x f_2(t)\ dt$,\qquad x\in[1,2]$$
a causa del fatto che la funzione data è definita in più rami. Il concetto che sta alla base è che devi applicare la regola di decomposizione degli integrali, secondo gli intervalli di definizione, per calcolare $F(x)$.
temo di non aver capito...
cioè ho capito che io devo fare in modo che $\int_1^x f_2(t)dt$ deve lavorare solo su $[1,2]$, ma non capisco la necessita di sommare $\int_0^1 f_1(t)dt$... se io impongo che la funzione vale $\int_1^x f_2(t)dt$ su $[1,2]$ non dovrei aver bisogno d'altro per limitare il dominio
cioè ho capito che io devo fare in modo che $\int_1^x f_2(t)dt$ deve lavorare solo su $[1,2]$, ma non capisco la necessita di sommare $\int_0^1 f_1(t)dt$... se io impongo che la funzione vale $\int_1^x f_2(t)dt$ su $[1,2]$ non dovrei aver bisogno d'altro per limitare il dominio
Rifletti su questo: per calcolare la funzione integrale devi calcolare
$$F(x)=\int_0^x f(t)\ dt$$
giusto? Ora, se $x\in[0,1]$ basta integrare la prima parte di $f$, ma se $x\in[1,2]$, considerando che parti da $0$, dovrai integrare la prima parte di $f$ e la seconda parte tra $1$ e $x$, ti pare?
$$F(x)=\int_0^x f(t)\ dt$$
giusto? Ora, se $x\in[0,1]$ basta integrare la prima parte di $f$, ma se $x\in[1,2]$, considerando che parti da $0$, dovrai integrare la prima parte di $f$ e la seconda parte tra $1$ e $x$, ti pare?
si dai ci sono direi che ho capito grazie
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