Funzioni iniettive, surgettive, limitate e infinitesime
Salve a tutti, molte volte nel pretest del mio esame di analisi sono presenti esercizi in cui è richiesto di determinare se una determinata funzione è iniettiva, surgettiva, limitata o infinitesima... A livello teorico le definixioni sono state piú o meno assimilate però in qualcuno potrebbe spiegarmi come vederlo praticamente? Grazie
Risposte
Puoi stabilirlo, con un po' di inventiva e di applicazione delle definizioni, direttamente dallo studio della funzione.
Una funzione iniettiva ha la proprietà che per $ \forall x \in D, \ \exists ! \ y | \ f(x) = y $, dove $\exists !$ significa "esiste ed è unica". Quindi, in particolare, la funzione non può avere massimi e minimi relativi, perché deve essere monotona crescente, (o decrescente, ma non entrambi) per ogni intervallo in cui è continua. Quindi puoi verificare l'iniettivita direttamente dalla derivata prima.
Per la surgettività, basta trovare una $y$ che non corrisponde ad alcuna $x$ del dominio. Una funzione limitata, cioè una il cui condominio è della forma [tex](a,b), \ [a,b), \ (a,b], \ [a,b][/tex]l con [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex], non potrà mai essere surgettiva. Ci sono infinite $y$ che impediscono la surgettività. Ad esempio, $ y= b +1$. Quindi possiamo dire che una funzione è surgettiva $\iff$ il suo condominio è della forma $ (- \infty, + \infty) $. Chiaramente,una funzione può essere limitata anche solo inferiormente (o superiormente); anche in quel caso, non può essere surgettiva.
Per stabilire se una funzione è infinitesima basta studiare i suoi asintoti orizzontali.
Prova ad esempio a classificare queste funzioni:
\[ f(x) = \frac{x^2}{e^x} \]
\[ f(x) = \frac {{1 + x}}{{x}} \]
\[ f(x) = \ln (1 + 3x^2) \]
\[ f(x) = |x| \]
\[ f(x) = \arctan (x) + \arctan \left ( \frac{1}{x} \right ) \]
\[ f(x) = \begin {cases} x, \ se \ x \geq 0 \\ \sin (x), \ se \ -1 < x < 0 \\ -4x, \ se \ x \leq -1 \end{cases} \]
Una funzione iniettiva ha la proprietà che per $ \forall x \in D, \ \exists ! \ y | \ f(x) = y $, dove $\exists !$ significa "esiste ed è unica". Quindi, in particolare, la funzione non può avere massimi e minimi relativi, perché deve essere monotona crescente, (o decrescente, ma non entrambi) per ogni intervallo in cui è continua. Quindi puoi verificare l'iniettivita direttamente dalla derivata prima.
Per la surgettività, basta trovare una $y$ che non corrisponde ad alcuna $x$ del dominio. Una funzione limitata, cioè una il cui condominio è della forma [tex](a,b), \ [a,b), \ (a,b], \ [a,b][/tex]l con [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex], non potrà mai essere surgettiva. Ci sono infinite $y$ che impediscono la surgettività. Ad esempio, $ y= b +1$. Quindi possiamo dire che una funzione è surgettiva $\iff$ il suo condominio è della forma $ (- \infty, + \infty) $. Chiaramente,una funzione può essere limitata anche solo inferiormente (o superiormente); anche in quel caso, non può essere surgettiva.
Per stabilire se una funzione è infinitesima basta studiare i suoi asintoti orizzontali.
Prova ad esempio a classificare queste funzioni:
\[ f(x) = \frac{x^2}{e^x} \]
\[ f(x) = \frac {{1 + x}}{{x}} \]
\[ f(x) = \ln (1 + 3x^2) \]
\[ f(x) = |x| \]
\[ f(x) = \arctan (x) + \arctan \left ( \frac{1}{x} \right ) \]
\[ f(x) = \begin {cases} x, \ se \ x \geq 0 \\ \sin (x), \ se \ -1 < x < 0 \\ -4x, \ se \ x \leq -1 \end{cases} \]
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