Funzioni iniettive e suriettive
Ciao a tutti, ho problemi, parecchi, nella dimostrazione che le funzioni date siano iniettive o suriettive.
Ad esempio, per questo esercizio
$ f(n):={ ( n^2/2 ) ,( 3n+2 ):} $ la prima con n pari, la seconda con n dispari
Come faccio a dire se è iniettiva o suriettiva?
Ad esempio, per questo esercizio
$ f(n):={ ( n^2/2 ) ,( 3n+2 ):} $ la prima con n pari, la seconda con n dispari
Come faccio a dire se è iniettiva o suriettiva?
Risposte
Innanzi tutto dovresti dire dove è definita la funzione ($\mathbb{N}, \mathbb{Q}, ...$)
Dato che viene utilizzata come variabile $n$ deduco sia $\mathbb{N}$.
Cosa vuol dire che una funzione è iniettiva?
Che $\forall x, y$ nel dominio se $f(x) = f(y)$ allora $x=y$.
Quindi sai che $f(x) = f(y)$ e devi dimostrare che $x=y$.
Nel tuo caso distinguiamo $x,y$ pari e dispari.
Supponiamo $x,y$ pari
Se $\frac{x^2}{2} = \frac{y^2}{2}$ allora $x^2 = y^2$ implica che $x=y$ (in $\mathbb{N}$)
Supponiamo $x,y$ dispari
Se $3x+2= 3y+2$ allora $x = y$
Per il caso in cui $x$ pari, $y$ dispari (o viceversa) non risulta mai verificata la relazione $f(x)=f(y)$.
Quindi la funzione è iniettiva. (D'altronde, perdonami l'abuso di definizione, ma essendo una "retta" e una "parabola" in $\mathbb{N}$ sono entrambe iniettive.)
Per la suriettività devi dimostrare che per ogni elemento $y$ del codominio (che dovrebbe essere $\mathbb{N}$) esiste un $x$ nel dominio tale che $f(x)=y$. Qui ti suggerisco di vedere prima se, ad occhio riesci a trovare qualche valore per cui sei sicura che la relazione scritta non va bene, e se dopo un po di tentativi non riesci utilzzare la definizione per dimostrare la suriettività.
Qui si vede abbastanza in frette che $3$ non ha una retroimmagine: infatti, se fosse $f(x)=3$ allora avresti che
$\frac{x^2}{2} = 3$ che no è verificata per nessun intero, oppure che $3x + 2 = 3$ che non è verificata per nessun intero.
Da questo deduci che non è iniettiva.
Dato che viene utilizzata come variabile $n$ deduco sia $\mathbb{N}$.
Cosa vuol dire che una funzione è iniettiva?
Che $\forall x, y$ nel dominio se $f(x) = f(y)$ allora $x=y$.
Quindi sai che $f(x) = f(y)$ e devi dimostrare che $x=y$.
Nel tuo caso distinguiamo $x,y$ pari e dispari.
Supponiamo $x,y$ pari
Se $\frac{x^2}{2} = \frac{y^2}{2}$ allora $x^2 = y^2$ implica che $x=y$ (in $\mathbb{N}$)
Supponiamo $x,y$ dispari
Se $3x+2= 3y+2$ allora $x = y$
Per il caso in cui $x$ pari, $y$ dispari (o viceversa) non risulta mai verificata la relazione $f(x)=f(y)$.
Quindi la funzione è iniettiva. (D'altronde, perdonami l'abuso di definizione, ma essendo una "retta" e una "parabola" in $\mathbb{N}$ sono entrambe iniettive.)
Per la suriettività devi dimostrare che per ogni elemento $y$ del codominio (che dovrebbe essere $\mathbb{N}$) esiste un $x$ nel dominio tale che $f(x)=y$. Qui ti suggerisco di vedere prima se, ad occhio riesci a trovare qualche valore per cui sei sicura che la relazione scritta non va bene, e se dopo un po di tentativi non riesci utilzzare la definizione per dimostrare la suriettività.
Qui si vede abbastanza in frette che $3$ non ha una retroimmagine: infatti, se fosse $f(x)=3$ allora avresti che
$\frac{x^2}{2} = 3$ che no è verificata per nessun intero, oppure che $3x + 2 = 3$ che non è verificata per nessun intero.
Da questo deduci che non è iniettiva.
Grazie Lory314 per l'esauriente risposta, perdonami la dimenticanza, ma si la funzione è definita in $ \N $
Non riesco tuttavia a capire questo pezzo
Grazie ancora per la spiegazione
Non riesco tuttavia a capire questo pezzo
"Lory314":
Per il caso in cui $x$ pari, $y$ dispari (o viceversa) non risulta mai verificata la relazione $f(x)=f(y)$.
Quindi la funzione è iniettiva. (D'altronde, perdonami l'abuso di definizione, ma essendo una "retta" e una "parabola" in $\mathbb{N}$ sono entrambe iniettive.)
Grazie ancora per la spiegazione
Se non hai capito la parte tra parentesi poco importa. Era un trucco sporco per verificare che la dimostrazione fosse corretta.
Quando devi verificare l'iniettività, devi verificare che PER OGNI $x$,$y$ tali che $f(x)=f(y)$ allora $x=y$.
In questo esempio se esistesse una coppia $x$ e $y$ con $x$ pari e $y$ dispari tale che $f(x)=f(y)$ allora $f$ non sarebbe iniettiva (perchè per esserlo dovresti avere $x=y$, ma essendo uno pari e l'altro dispari questo è assurdo).
Quindi ti basta verificare che non è mai possibile che $f(x)=f(y)$ in $\mathbb{N}$.
Quando devi verificare l'iniettività, devi verificare che PER OGNI $x$,$y$ tali che $f(x)=f(y)$ allora $x=y$.
In questo esempio se esistesse una coppia $x$ e $y$ con $x$ pari e $y$ dispari tale che $f(x)=f(y)$ allora $f$ non sarebbe iniettiva (perchè per esserlo dovresti avere $x=y$, ma essendo uno pari e l'altro dispari questo è assurdo).
Quindi ti basta verificare che non è mai possibile che $f(x)=f(y)$ in $\mathbb{N}$.
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