Funzioni in due variabili: Differenziabilità in un dominio
Ragazzi ho un dubbio su questo esercizio
sia $f(x,y)=|x|log(y+1)$
e dato il dominio $X={(x,y)in RR: y+1>0 , x!=0}$
verificare che sia differenziabile in X
ha senso verificare questas condizione calcolando il limite della differenziabilità nel punto (0,-1)???
premetto che la mia è una domanda non per farmi fare l'esercizio ma più che altro è un dubbio sull'impostazione di quest'ultimo...
grazie in anticipo
sia $f(x,y)=|x|log(y+1)$
e dato il dominio $X={(x,y)in RR: y+1>0 , x!=0}$
verificare che sia differenziabile in X
ha senso verificare questas condizione calcolando il limite della differenziabilità nel punto (0,-1)???
premetto che la mia è una domanda non per farmi fare l'esercizio ma più che altro è un dubbio sull'impostazione di quest'ultimo...
grazie in anticipo
Risposte
Ma in y=-1 non è definita, come puoi calcolarne il limite della differenziabilità?
eh non lo so...hai ragione ma non so proprio come approcciare all'esercizio....
Avevo pensato che essendo dei punti problematici della funzione il limite andava calcolato li....
ti spiego il mio problema è che avendo un dominio e quindi un insieme dei punti non so dove andare a calcolare la differenziabilità...
stesso vale se voglio applicare il teorema del differenziale....
Quindi a questo punto mi calcolo il limite per un x e y generico e quindi risolvere l'integrale enorme della differenziabilità
Avevo pensato che essendo dei punti problematici della funzione il limite andava calcolato li....
ti spiego il mio problema è che avendo un dominio e quindi un insieme dei punti non so dove andare a calcolare la differenziabilità...
stesso vale se voglio applicare il teorema del differenziale....
Quindi a questo punto mi calcolo il limite per un x e y generico e quindi risolvere l'integrale enorme della differenziabilità
L'integrale della differenziabilità? :S
Guarda puoi fare le derivate parziali rispetto a $x$ e $y$ e verificare che siano continue nell'insieme $X$.
L'unico problema si verificherebbe nei punti con $x=0$, dove la derivata parziale rispetto a $x$ potrebbe non esistere, ma comunque il tuo insieme li esclude.
Guarda puoi fare le derivate parziali rispetto a $x$ e $y$ e verificare che siano continue nell'insieme $X$.
L'unico problema si verificherebbe nei punti con $x=0$, dove la derivata parziale rispetto a $x$ potrebbe non esistere, ma comunque il tuo insieme li esclude.
si scusami Abral intendevo il limite...sto un "po" fuso....xD
ho capito ciò che intendi...quindi mi sarei dovuto andare a vedere per delle generiche x e y la continuità delle derivate?
Ma poi non sarebbe altrettanto valido calcolare il limite della differenziabilità?
ovvero
$lim_((h,k)) -> (0,0))(f(x+h,y+k)-f(x,y)-f_x(x,y)-f_y(x,y))/sqrt(h^2+k^2) $
cmq ti ringrazio per la tua disponibilità!
ho capito ciò che intendi...quindi mi sarei dovuto andare a vedere per delle generiche x e y la continuità delle derivate?
Ma poi non sarebbe altrettanto valido calcolare il limite della differenziabilità?
ovvero
$lim_((h,k)) -> (0,0))(f(x+h,y+k)-f(x,y)-f_x(x,y)-f_y(x,y))/sqrt(h^2+k^2) $
cmq ti ringrazio per la tua disponibilità!
Certo, però è immediato vedere che in quel dominio le derivate parziali sono continue, quindi calcolare quel limite è inutile.
quindi si vede a occhio dato che il dominio della funzione è praticamente lo stesso a parte quel $x!=0$...
alla fine dal punto di vista formale non c'è da fare nulla??
alla fine dal punto di vista formale non c'è da fare nulla??
Se devi verificare la differenziabilità in quell'insieme X, allora basta la continuità delle derivate, perché in quell'insieme sono continue.
Se invece devi verificare la differenziabilità nel dominio della funzione, quindi soltanto con $y>-1$, devi innanzitutto verificare che la derivata parziale rispetto a $x$ esista in quei punti (e io mi trovo che esiste per $x=0$ soltanto se anche $y=0$).
Una volta calcolato il valore della derivata parziale rispetto a $x$ nei punti che ti danno problemi, hai due possibilità:
1) verificare che la $f_x$ è continua e poi usare il teorema del differenziale, che in questo caso è più semplice.
2) applicare la definizione di differenziabilità.
Se invece devi verificare la differenziabilità nel dominio della funzione, quindi soltanto con $y>-1$, devi innanzitutto verificare che la derivata parziale rispetto a $x$ esista in quei punti (e io mi trovo che esiste per $x=0$ soltanto se anche $y=0$).
Una volta calcolato il valore della derivata parziale rispetto a $x$ nei punti che ti danno problemi, hai due possibilità:
1) verificare che la $f_x$ è continua e poi usare il teorema del differenziale, che in questo caso è più semplice.
2) applicare la definizione di differenziabilità.
ragazzi scusate la domanda stupida ma io per verificare la differenziabilità faccio il limite, ma x+h e y+k a cosa dovrebbero corrispondere precisamente?
"Marchello":
ragazzi scusate la domanda stupida ma io per verificare la differenziabilità faccio il limite, ma x+h e y+k a cosa dovrebbero corrispondere precisamente?
Tu hai già fatto analisi I, vero?
Si dovrebbero essere i rispettivi incrementi
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