Funzioni in due variabili:
Scusate la domanda banale, ma presa dallo studio delle funzioni in due variabili trovo le prime difficoltà. Il libro dice che:
$f(x,y) : D sub R^2 -->R$ ora mi chiedo perchè succede ciò? Perchè io presa una funziona in due variabili(quindi$ R^2$) associo ad$ x$ ed$ y$ due valori in$ R$? inoltre non capisco la differenza tra quelle in 1 e 2 variabili. Tipo avevo che in una sola variabile :
$f(x)= x$ cioè che la variabile era solo la x, mentre in $R^2$ le variabili diventano due? mi chiarite questi dubbi? Grazie infinite.
$f(x,y) : D sub R^2 -->R$ ora mi chiedo perchè succede ciò? Perchè io presa una funziona in due variabili(quindi$ R^2$) associo ad$ x$ ed$ y$ due valori in$ R$? inoltre non capisco la differenza tra quelle in 1 e 2 variabili. Tipo avevo che in una sola variabile :
$f(x)= x$ cioè che la variabile era solo la x, mentre in $R^2$ le variabili diventano due? mi chiarite questi dubbi? Grazie infinite.
Risposte
La definizione di funzione reale in più variabili (nel tuo caso due) è proprio quella: a ogni coppia di numeri reali, associ un numero reale.
Ad esempio, supponiamo che tu faccia due lavori $A$ e $B$ pagati a ore rispettivamente $n_{a}$ e $n_{b}$. Potremmo allora costruire la funzione che associa a ogni coppia di ore (in cui ciascun valore non può essere negativo) quello che hai guadagnato in totale, ovvero
$$f(x,y)=n_{a}x+n_{b}y$$
Supponiamo ad esempio che $n_{a}=2$ e $n_{b}=3$
$$f(x,y)=2x+3y$$
ovvero a questo punto andando semplicemente a sostituire le ore in cui hai lavorato per ciascun lavoro, ottieni quanto hai guadagnato. Ad esempio se tu avessi fatto $5$ ore nel primo lavoro e $2$ nel secondo
$f(5,2)=16$
Ad esempio, supponiamo che tu faccia due lavori $A$ e $B$ pagati a ore rispettivamente $n_{a}$ e $n_{b}$. Potremmo allora costruire la funzione che associa a ogni coppia di ore (in cui ciascun valore non può essere negativo) quello che hai guadagnato in totale, ovvero
$$f(x,y)=n_{a}x+n_{b}y$$
Supponiamo ad esempio che $n_{a}=2$ e $n_{b}=3$
$$f(x,y)=2x+3y$$
ovvero a questo punto andando semplicemente a sostituire le ore in cui hai lavorato per ciascun lavoro, ottieni quanto hai guadagnato. Ad esempio se tu avessi fatto $5$ ore nel primo lavoro e $2$ nel secondo
$f(5,2)=16$
Ottimo! e perchè non riesco a disegnare una tal funzione? ho provato a disegnare f(x,y)= x+y ma non riesco a capire come collegare i vari punti.
Io comincerei subito, con il dirti di abituarti a NON "disegnare" il grafico della funzione, questo perchè il tuo prossimo passo sarà quello di aumentare il numero delle variabili ("dipendenti o indipendenti"), e quindi nella maggior parte dei casi ti sarà impossibile oltre che superfluo fare ciò.
Nel tuo caso ovvero le funzioni di sole due variabili il grafico si può "disegnare". Puoi prendere un sistema di riferimento ad esempio cartesiano e vedere l'immagine della funzione come la coordinata $z$ del punto che ha coordinate $x$ e $y$.
Quindi ad esempio con la tua funzione se
$$f(2,1)=3$$
avrai che il tuo punto $P$ ha coordinate $2,1,3$, e quindi puoi facilmente individuarlo all'interno del tuo sistema di riferimento.
Nel tuo caso ovvero le funzioni di sole due variabili il grafico si può "disegnare". Puoi prendere un sistema di riferimento ad esempio cartesiano e vedere l'immagine della funzione come la coordinata $z$ del punto che ha coordinate $x$ e $y$.
Quindi ad esempio con la tua funzione se
$$f(2,1)=3$$
avrai che il tuo punto $P$ ha coordinate $2,1,3$, e quindi puoi facilmente individuarlo all'interno del tuo sistema di riferimento.
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