Funzioni implicite ed eTaylor del 3 ordine....
Salve....ho un problema nell'impostare il seguente esercizio:
Data la funzione $F(x,y)=xe^y - y$, verificare un intorno del punto x=0 nel quale è definita un'unica funzione y=f(x) di classe C' tale che f(0)=0 e F(x,f(x))=0.Inoltre scrivere la formula di Taylor del terzo ordine relativa ad f di punto iniziale 0.
La prima parte è semplice perchè basta applicare il teorema del Dini e dimostro facilmente che $ EE! $ soluzione y=f(x)...potrei provare a dimostrare che f(0)=0 considerando che F(0,y)=-y quindi che si annulla per y=0 quindi se considero f(x)=y=0...posso riuscire anche a dimostrare F(x,f(x))=0....ma il vero problema è Taylor....per favore, vi prego, aiutatemi con Taylor
Data la funzione $F(x,y)=xe^y - y$, verificare un intorno del punto x=0 nel quale è definita un'unica funzione y=f(x) di classe C' tale che f(0)=0 e F(x,f(x))=0.Inoltre scrivere la formula di Taylor del terzo ordine relativa ad f di punto iniziale 0.
La prima parte è semplice perchè basta applicare il teorema del Dini e dimostro facilmente che $ EE! $ soluzione y=f(x)...potrei provare a dimostrare che f(0)=0 considerando che F(0,y)=-y quindi che si annulla per y=0 quindi se considero f(x)=y=0...posso riuscire anche a dimostrare F(x,f(x))=0....ma il vero problema è Taylor....per favore, vi prego, aiutatemi con Taylor
Risposte
$xe^y - y=0 rarr \{(e^y+xy'e^y-y'=0rarry'=1),(2y'e^y+xy''e^y+xy'^2e^y-y''=0rarry''=2),(3y''e^y+3y'^2e^y+xy'''e^y+3xy''y'e^y+xy'^3e^y-y'''=0rarry'''=9):}$
$y=x+x^2+3/2x^3+o(x^3)$ per $xto0$.
Alcuni termini simili li ho sommati, prova a fare una verifica.
$y=x+x^2+3/2x^3+o(x^3)$ per $xto0$.
Alcuni termini simili li ho sommati, prova a fare una verifica.
scusami ma come hai sviluppato in serie y??l'hai vista come y=f(x)?cioè hai considerato lo sviluppo di $e^(f(x))=1+x+x^2/2$ e poi l'hai moltiplicato a x??
Per forza. Quello sviluppo in serie richiede $y(0)$, $y'(0)$, $y''(0)$ e $y'''(0)$. Non puoi calcolarli direttamente, soprattutto se non puoi esplicitare $y=y(x)$. Ripeto, sai ricavarti le relazioni che ho scritto? Ho visto che hai modificato il tuo messaggio, non devi procedere come hai proposto.
mmm...come ha fatto a trovarsi a ricavare le equazioni del sistema??mi scusi ma non mai affrontato un problema del genere....
Partiamo dalla prima. Devi derivare "totalmente" rispetto a $x$, sapendo che anche $y=y(x)$, la relazione $xe^y - y=0$. Quindi:
$1*e^y+x*y'e^y-y'=0$
in quanto $(e^y)'=y'e^y$. Ci sei? Le relazioni successive sono più lunghe da trovare, se vuoi ti mostro la seconda.
$1*e^y+x*y'e^y-y'=0$
in quanto $(e^y)'=y'e^y$. Ci sei? Le relazioni successive sono più lunghe da trovare, se vuoi ti mostro la seconda.
nono nn t preocc ora ho capito....=) grazie=)
Volendo, puoi procedere con le derivate parziali di $F(x,y)$, come ho fatto in un precedente esercizio, questione di gusti.
"speculor":
$xe^y - y=0 rarr \{(e^y+xy'e^y-y'=0rarry'=1),(2y'e^y+xy''e^y+xy'^2e^y-y''=0rarry''=2),(3y''e^y+3y'^2e^y+xy'''e^y+3xy''y'e^y+xy'^3e^y-y'''=0rarry'''=9):}$
$y=x+x^2+3/2x^3+o(x^3)$ per $xto0$.
Alcuni termini simili li ho sommati, prova a fare una verifica.
solo una cosa $2y'e^y+xy''e^y+xy'^ 2e^y-y''=0$ mi trovo con te....solo che quando vado ad isolare y'' trovo $ y''= (2y'e^y + xy'e^y)/(1-xe^y) $
Essendo interessato ai valori per $x=0$, conviene sostituire direttamente le informazioni che hai già ricavato:
$\{(x=0),(y=0),(y'=1):}$
$\{(x=0),(y=0),(y'=1):}$
ti sono infinitamente grata=)=)=)
ultimissima cosa una volta trovati y',y'',y''' come faccio a ricavarmi questo:$y=x+x^2+3/2x^3+o(x^3)$ per $xto0$?
$y=y(0)+y'(0)*x+(y''(0))/2*x^2+(y'''(0))/6*x^3+o(x^3)$ per $xto0$.
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