Funzioni implicite e derivazione
Quando ho una funzione della forma $g(x,y)=0$ e devo derivare rispetto ad x, perchè la derivata risulta $g_x+g_yy'$ e non solamente $g_x$?
Ovvero in base a quale teorema devo operare per calcolare le derivate?
Ovvero in base a quale teorema devo operare per calcolare le derivate?
Risposte
Diciamo che la domanda è posta un po' poco chiaramente..
Quando ti ritrovi nel caso da te posto, $ g(x,y) = 0 $ significa che quell'equazione definisce implicitamente una funzione (ometto ovviamente tutte le ipotesi del teorema del Dini che comunque devono essere rispettate) che chiameremo $ F $ ad esempio, la cui derivata non è altro che $ F'(x) = - (g_x) / (g_y) $
Altrimenti non ho capito bene la tua domanda
Quando ti ritrovi nel caso da te posto, $ g(x,y) = 0 $ significa che quell'equazione definisce implicitamente una funzione (ometto ovviamente tutte le ipotesi del teorema del Dini che comunque devono essere rispettate) che chiameremo $ F $ ad esempio, la cui derivata non è altro che $ F'(x) = - (g_x) / (g_y) $
Altrimenti non ho capito bene la tua domanda
Si', la domanda e' formulata in modo poco chiaro. Potrebbe anche esserci di mezzo solo il caloclo della derivata di una funzioen composta, e cioe' di $g(x,y(x))$, a vedere il "risultato".
Mondo, chiarisci meglio la domanda e, soprattutto, sii piu' preciso se vuoi sopravvivere nella giungla delle funzioni di piu' variabili.
Mondo, chiarisci meglio la domanda e, soprattutto, sii piu' preciso se vuoi sopravvivere nella giungla delle funzioni di piu' variabili.
Ok, provo ad essere più chiaro...
Sia $g(x,y)$ un'equazione che rispetta le condizioni del teorema di Dini. E sia $y=f(x)$ la funzione definita implicitamente dall'equazione $g(x,y)=0$
Come noto sussiste la relazione $f'=(g_x)/(g_y)$ e questa la si dovrebbe ottenere pure derivando la relazione $g(x,y)=0$, cher rappresenta un'identità per ogni x dell'intorno U in cui lavoriamo.
Ora il fatto fondamentale (che ieri mi sfuggiva) che la nostra y è una y(x) e quindi la derivata di $g(x,y)$ risulta $g_x+ y'g_y$
Domanda 1) Per trovare la derivata rispetto ad x della funzione g ho applicato solo il teorema della funzione composta o serve qualcos'altro?
Domanda 2) Come faccio quando vado a lavorare in più variabili?
Ovvero, prendiamo un esempio concreto (tratto dal pagani-salsa):
sia $g(x,y,z)= arctan z+ xy^2+xz-y^3-1$ di classe $C^{\infty}$. Nel punto (0, -1, 0) la g è nulla mentre non è nulla la derivata parziale rispetto a z. Dunque valgono le ipotesi del Dini ed esiste una $z=f(x,y)$.
Calcolare il differenziale primo di f è poco più di una banalità, ma per me risulta problematico il calcolo del differenziale secondo...
Il Pagani-Salsa procede così:
"Per calcolare il differenziale secondo differenziamo due volte l'equazione $g(x,y,z)=0$. pensando $z=f(x,y)$; ricordando la proprietà dfi invarianza del differenziale primo[????], abbiamo:
$dg= g_xdx+g_ydy+g_zdz=0$ [e fin qui nulla di strano]
Differenziando ancora abbiamo:
$d^2g+g_zd^2z=0$"
Quest'ultima relazione da dove salta fuori?
Sia $g(x,y)$ un'equazione che rispetta le condizioni del teorema di Dini. E sia $y=f(x)$ la funzione definita implicitamente dall'equazione $g(x,y)=0$
Come noto sussiste la relazione $f'=(g_x)/(g_y)$ e questa la si dovrebbe ottenere pure derivando la relazione $g(x,y)=0$, cher rappresenta un'identità per ogni x dell'intorno U in cui lavoriamo.
Ora il fatto fondamentale (che ieri mi sfuggiva) che la nostra y è una y(x) e quindi la derivata di $g(x,y)$ risulta $g_x+ y'g_y$
Domanda 1) Per trovare la derivata rispetto ad x della funzione g ho applicato solo il teorema della funzione composta o serve qualcos'altro?
Domanda 2) Come faccio quando vado a lavorare in più variabili?
Ovvero, prendiamo un esempio concreto (tratto dal pagani-salsa):
sia $g(x,y,z)= arctan z+ xy^2+xz-y^3-1$ di classe $C^{\infty}$. Nel punto (0, -1, 0) la g è nulla mentre non è nulla la derivata parziale rispetto a z. Dunque valgono le ipotesi del Dini ed esiste una $z=f(x,y)$.
Calcolare il differenziale primo di f è poco più di una banalità, ma per me risulta problematico il calcolo del differenziale secondo...
Il Pagani-Salsa procede così:
"Per calcolare il differenziale secondo differenziamo due volte l'equazione $g(x,y,z)=0$. pensando $z=f(x,y)$; ricordando la proprietà dfi invarianza del differenziale primo[????], abbiamo:
$dg= g_xdx+g_ydy+g_zdz=0$ [e fin qui nulla di strano]
Differenziando ancora abbiamo:
$d^2g+g_zd^2z=0$"
Quest'ultima relazione da dove salta fuori?
Domanda 1) Per trovare la derivata rispetto ad x della funzione g ho applicato solo il teorema della funzione composta o serve qualcos'altro?
Serve che la derivata di $y$ esista, e quindi serve il teorema del Dini.
Vabbè sì, oltre anche al teorema del Dini le cui ipotesi si supongono rispettate...
Nel post di prima intendevo
Serve che la derivata di $f$ esista, e quindi serve il teorema del Dini.
Serve che la derivata di $f$ esista, e quindi serve il teorema del Dini.
si, ho capito...
qualche idea per la domanda 2 ?
qualche idea per la domanda 2 ?
Scusa l'apparente pedanteria - nel secondo post stavo tentando di rispondere alla seconda domanda ma poi ho rinunciato (e tu avevi gia' risposto)
Ci riprovo - in quello che segue cerco di mostrarti come ricaverei io la formula sul diffrenziale secondo di $f$ - do per
buona la sua esistenza e quindi uso solo le formule sulle derivate.
Io farei cosi: intanto chiamo $X$ il complesso delle prime variabili ( $X=(x,y)$ nel tuo esempio ) e $z$ l'ultima, quella di cui sai
che $g_z\ne 0$. Non posso poi fare a meno di introdurre $h(X):=g(X,f(X))$, di modo che $h(X)=0$ per la definizione di $f$.
Allora
(1) $0=dh=d_Xg+g_z df$
($d_Xg$ è il differenziale di $g$ rispetto alle prime variabili) da cui ricavi
(2) $df=-1/{g_z}d_Xg$. Per derivare di nuovo (1) preferisco riscriverla
in termini delle derivate parziali (altrimenti mi mancano le notazioni)
($1'$) $0=dh=\sum_ig_{x_i}dx_i+g_z\sum_i f_{x_i}dx_i$
da cui
$0=d^2h=\sum_{ij}g_{x_ix_j}dx_idx_j+\sum_jg_{x_j,z}dx_j\sum_i f_{x_i}dx_i+g_z\sum_{i,} f_{x_i,x_j}dx_idx_j=d_X^2g+\sum_{ij}f_{x_i}g_{x_j,z}dx_idx_j + g_zd^2f=$
$d_X^2g-1/{g_z}\sum_{ij}g_{x_i}g_{x_j,z}dx_idx_j + g_zd^2f$ (per la (2) ). Se ne ricava
$d^2f=-1/{g_z}d_X^2g+1/{g_z^2}\sum_{ij}g_{x_i}g_{x_j,z}dx_idx_j$
L'ultimo termine ha sicuramente una espressione sintetica ma non tento di addentrarmici, visto che
la formula sopra dovrebbe fornirti tutte le derivate seconde di $f$.
Come metterla d'accordo con la formula del libro non so, perche' non ho familiarita' con le sue notazioni.
Ci riprovo - in quello che segue cerco di mostrarti come ricaverei io la formula sul diffrenziale secondo di $f$ - do per
buona la sua esistenza e quindi uso solo le formule sulle derivate.
Io farei cosi: intanto chiamo $X$ il complesso delle prime variabili ( $X=(x,y)$ nel tuo esempio ) e $z$ l'ultima, quella di cui sai
che $g_z\ne 0$. Non posso poi fare a meno di introdurre $h(X):=g(X,f(X))$, di modo che $h(X)=0$ per la definizione di $f$.
Allora
(1) $0=dh=d_Xg+g_z df$
($d_Xg$ è il differenziale di $g$ rispetto alle prime variabili) da cui ricavi
(2) $df=-1/{g_z}d_Xg$. Per derivare di nuovo (1) preferisco riscriverla
in termini delle derivate parziali (altrimenti mi mancano le notazioni)
($1'$) $0=dh=\sum_ig_{x_i}dx_i+g_z\sum_i f_{x_i}dx_i$
da cui
$0=d^2h=\sum_{ij}g_{x_ix_j}dx_idx_j+\sum_jg_{x_j,z}dx_j\sum_i f_{x_i}dx_i+g_z\sum_{i,} f_{x_i,x_j}dx_idx_j=d_X^2g+\sum_{ij}f_{x_i}g_{x_j,z}dx_idx_j + g_zd^2f=$
$d_X^2g-1/{g_z}\sum_{ij}g_{x_i}g_{x_j,z}dx_idx_j + g_zd^2f$ (per la (2) ). Se ne ricava
$d^2f=-1/{g_z}d_X^2g+1/{g_z^2}\sum_{ij}g_{x_i}g_{x_j,z}dx_idx_j$
L'ultimo termine ha sicuramente una espressione sintetica ma non tento di addentrarmici, visto che
la formula sopra dovrebbe fornirti tutte le derivate seconde di $f$.
Come metterla d'accordo con la formula del libro non so, perche' non ho familiarita' con le sue notazioni.
Faccio un po' fatica a seguirti...
Allora la tua funzione $H$ sarebbe la mia $g(x,y,z)=0$, giusto?
E quindi quello che chiami $d_Xg$ se scritto in forma estesa risulterebbe $g_xdx+g_ydy$?
Se questo ti torna la formula che mi risulta oscura si traduce nella tua notazione con $d^2h+g_zd^2f=0$
Guarda se questo svolgimento ti sembra corretto... (z=f(x,y) è la funzione implicita nella relazione g(x,y,z)=0)
$d^2g=g_{x x}dx^2+2g_{xy}dxdy+g_{yy}dy^2+ g_{xz}dxdf+ g_{yz}dydf+ g_zd^2f$ e di qui sono solo conti stupidi...
Allora la tua funzione $H$ sarebbe la mia $g(x,y,z)=0$, giusto?
E quindi quello che chiami $d_Xg$ se scritto in forma estesa risulterebbe $g_xdx+g_ydy$?
Se questo ti torna la formula che mi risulta oscura si traduce nella tua notazione con $d^2h+g_zd^2f=0$
Guarda se questo svolgimento ti sembra corretto... (z=f(x,y) è la funzione implicita nella relazione g(x,y,z)=0)
$d^2g=g_{x x}dx^2+2g_{xy}dxdy+g_{yy}dy^2+ g_{xz}dxdf+ g_{yz}dydf+ g_zd^2f$ e di qui sono solo conti stupidi...
Mi devi scusare - il conto che ti ho mandato è sbagliato (almeno in questo momento mi sembra tale).
Il problema è che la notazione è insidiosissima (almeno per me) e sono cascato nell'errore che volevo evitare.
Ti spiego un po' il mio punto di vista - se ho tempo poi rifaccio i conti
Io sento il bisogno di introdurre $h$ perché scrivendo $g(x,y,z)$ la interpreto come funzione di tre variabili - dunque
$h(x,y)=g(x,y,z(x,y))$ o meglio, se la funzione "implicita" si chiama $f$ (come fai dopo), $h(x,y)=g(x,y,f(x,y))$.
Con queste premesse $h$ è identicamente nulla, dunque $dh=0$ e $d^2h$=0.
Ne segue che la formula $d^2h+g_zd^2f=0$ non mi pare corretta (viceversa concordo che $d_Xg=g_xdx+g_ydy$).
Ora nel caso con tre variabili la si ottiene
(1) $0=dh=g_xdx+g_ydy+g_z(f_xdx+f_ydy)$ da cui
(2) $df=-1/{g_z}(g_xdx+g_ydy)$
A questo punto vorrei differenziare di nuovo la (1) - il mio problema è che $g_x$ indica $g_x(x,y,f(x,y))$ ( e così le altre derivate )
e quindi da ogni termine rispuntano le derivate di $f$ (che si possono eliminare tramite la (2) ) che ieri avevo scordato.
Ho l'impressione di averti solo confuso -sorry
Il problema è che la notazione è insidiosissima (almeno per me) e sono cascato nell'errore che volevo evitare.
Ti spiego un po' il mio punto di vista - se ho tempo poi rifaccio i conti
Io sento il bisogno di introdurre $h$ perché scrivendo $g(x,y,z)$ la interpreto come funzione di tre variabili - dunque
$h(x,y)=g(x,y,z(x,y))$ o meglio, se la funzione "implicita" si chiama $f$ (come fai dopo), $h(x,y)=g(x,y,f(x,y))$.
Con queste premesse $h$ è identicamente nulla, dunque $dh=0$ e $d^2h$=0.
Ne segue che la formula $d^2h+g_zd^2f=0$ non mi pare corretta (viceversa concordo che $d_Xg=g_xdx+g_ydy$).
Ora nel caso con tre variabili la si ottiene
(1) $0=dh=g_xdx+g_ydy+g_z(f_xdx+f_ydy)$ da cui
(2) $df=-1/{g_z}(g_xdx+g_ydy)$
A questo punto vorrei differenziare di nuovo la (1) - il mio problema è che $g_x$ indica $g_x(x,y,f(x,y))$ ( e così le altre derivate )
e quindi da ogni termine rispuntano le derivate di $f$ (che si possono eliminare tramite la (2) ) che ieri avevo scordato.
Ho l'impressione di averti solo confuso -sorry
Ho rifatto i conti e te li mando. Sono però perplesso su cio' che ho trovato a causa tua citazione del Pagani Salsa, che da una parte non so come interpretare
e dall'altra suggerisce che qualcuno dei termini che ho scritto in realtà faccia zero.
In effetti non riesco a capire che senso ha $d^2g+g_zd^2z=0$ dato che dovrebbe essere $d^2g=0$.
Ti mostro i miei conti in cui $g$ sottintende $g(x,y,f(x,y))$ e lo stesso per $g_x$, $g_y$ ecc ...
Differenziando la (1) del post precedente dovrebbe venire
$0=g_{x x}dx^2+2g_{x y}dxdy + g_{y y}dy^2+g_{x z}dxdf+g_{y z}dydf +(g_{x z}dx+g_{y z}dy +g_{z z}df)df+g_z d^2f=$
$g_{x x}dx^2+2g_{x y}dxdy + g_{y y}dy^2+2(g_{x z}dx+g_{y z}dy)df +g_{z z}dfdf+g_z d^2f=$ (usando la (2)
$g_{x x}dx^2+2g_{x y}dxdy + g_{y y}dy^2-2/{g_z}(g_{x z}dx+g_{y z}dy)(g_xdx+g_ydy) +g_{z z}/{g_z^2}(g_xdx+g_ydy)^2+g_z d^2f$
da cui si ricava (a meno di errori)
$d^2f=-1/{g_z}(g_{x x}dx^2+2g_{x y}dxdy + g_{y y}dy^2)+2/{g_z^2}(g_{x z}dx+g_{y z}dy)(g_xdx+g_ydy) -g_{z z}/{g_z^3}(g_xdx+g_ydy)^2$
Ci penso ancora un po'
e dall'altra suggerisce che qualcuno dei termini che ho scritto in realtà faccia zero.
In effetti non riesco a capire che senso ha $d^2g+g_zd^2z=0$ dato che dovrebbe essere $d^2g=0$.
Ti mostro i miei conti in cui $g$ sottintende $g(x,y,f(x,y))$ e lo stesso per $g_x$, $g_y$ ecc ...
Differenziando la (1) del post precedente dovrebbe venire
$0=g_{x x}dx^2+2g_{x y}dxdy + g_{y y}dy^2+g_{x z}dxdf+g_{y z}dydf +(g_{x z}dx+g_{y z}dy +g_{z z}df)df+g_z d^2f=$
$g_{x x}dx^2+2g_{x y}dxdy + g_{y y}dy^2+2(g_{x z}dx+g_{y z}dy)df +g_{z z}dfdf+g_z d^2f=$ (usando la (2)
$g_{x x}dx^2+2g_{x y}dxdy + g_{y y}dy^2-2/{g_z}(g_{x z}dx+g_{y z}dy)(g_xdx+g_ydy) +g_{z z}/{g_z^2}(g_xdx+g_ydy)^2+g_z d^2f$
da cui si ricava (a meno di errori)
$d^2f=-1/{g_z}(g_{x x}dx^2+2g_{x y}dxdy + g_{y y}dy^2)+2/{g_z^2}(g_{x z}dx+g_{y z}dy)(g_xdx+g_ydy) -g_{z z}/{g_z^3}(g_xdx+g_ydy)^2$
Ci penso ancora un po'
Dopo vari controlli mi sono convinto che l'ultima formula è corretta e mi pare non semplificabile.
Per inciso io la scriverei
(1) $d^2f=-1/{g_z}d_X^2g+2/{g_z^2}d_Xg_zd_Xg-\frac{g_{z z}}{g_z^3}(d_Xg)^2$
con la solita notazione $(x,y,z)=(X,z)$ e dove tutto ciò che c'è a destra è calcolato in $(X,f(X))$.
Ho verificato la formula nei casi $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1$ e $g(x,y,z,)=xyz-1$, in cui la $f$ si trova
esplicitamente come $f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$ e come $f(x,y)=\frac{1}{xy}$ rispettivamente.
Confrontando la (1) con il calcolo esplicito fatto direttamente su $f$ si vede che tutti i
termini scritti servono e possono esserci (almeno a due a due).
Per inciso io la scriverei
(1) $d^2f=-1/{g_z}d_X^2g+2/{g_z^2}d_Xg_zd_Xg-\frac{g_{z z}}{g_z^3}(d_Xg)^2$
con la solita notazione $(x,y,z)=(X,z)$ e dove tutto ciò che c'è a destra è calcolato in $(X,f(X))$.
Ho verificato la formula nei casi $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1$ e $g(x,y,z,)=xyz-1$, in cui la $f$ si trova
esplicitamente come $f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$ e come $f(x,y)=\frac{1}{xy}$ rispettivamente.
Confrontando la (1) con il calcolo esplicito fatto direttamente su $f$ si vede che tutti i
termini scritti servono e possono esserci (almeno a due a due).
Non mi torna granchè un pezzo della tua formulona...
In particolare non capisco da dove prendi il pezzo $(g_{x z}dx+g_{y z}dy +g_{z z}df)df$.
Differenziando $g_xdx$ ottengo $g_{x x}dx^2+g_{x y}dxdy +g_{x z}dxdf$; differenziando $g_ydy$ ottengo $g_{x y}dxdy + g_{y y}dy^2+g_{y z}dydf$ e infine differenziando $g_zdz$ mi prendo $g_zd^2f$. Perchè quel pezzo in più?
(In ogni caso ho sbagliato io, perchè i conti come li hai fatti tu, se portati in fondo, portano al risultato corretto...)
Temo che la mia lacuna sia più profonda, quindi ti faccio anche una domanda più generale... come si procede a differenziare una qualunque funzione (equazione funzionale)?
"ViciousGoblinEnters":
Differenziando la (1) del post precedente dovrebbe venire
$0=g_{x x}dx^2+2g_{x y}dxdy + g_{y y}dy^2+g_{x z}dxdf+g_{y z}dydf +(g_{x z}dx+g_{y z}dy +g_{z z}df)df+g_z d^2f$
In particolare non capisco da dove prendi il pezzo $(g_{x z}dx+g_{y z}dy +g_{z z}df)df$.
Differenziando $g_xdx$ ottengo $g_{x x}dx^2+g_{x y}dxdy +g_{x z}dxdf$; differenziando $g_ydy$ ottengo $g_{x y}dxdy + g_{y y}dy^2+g_{y z}dydf$ e infine differenziando $g_zdz$ mi prendo $g_zd^2f$. Perchè quel pezzo in più?
(In ogni caso ho sbagliato io, perchè i conti come li hai fatti tu, se portati in fondo, portano al risultato corretto...)
Temo che la mia lacuna sia più profonda, quindi ti faccio anche una domanda più generale... come si procede a differenziare una qualunque funzione (equazione funzionale)?
In particolare non capisco da dove prendi il pezzo $(g_{xz}dx+g_{yz}dy+g_{zz}df)df$
se guardi il termine $g_z(f_xdx+f_ydy)$ (il secondo addendo di (1) ) ti accorgi che è il prodotto di
due oggetti, ognuno dei quali dipende da $(x,y)$; formalmente dovresti scrivere
$g_z(x,y,f(x,y))(f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy)$
Applichi allora la regola del prodotto (differenziale del primo fattore per il secondo più primo per il
differenziale del secondo) - il pezzo che indichi sopra è esattamente il differenziale di $g_z$ moltiplicato
per il differenziale di $f$ (che c'era già). Per cacloare tale differenziale si usano gl stessi ragionamenti utilizzati nel caso del differenziale di $g$
(nel primo post avevo calcolato male il questo differenziale, scordandomi il termine $g_{zz}df$ - bisogna sempre ricordarsi che in tutte queste espressioni
c'è sempre $f$ al posto di $z$).
Temo che la mia lacuna sia più profonda
secondo me ti sbagli - si tratta solo di capire alcune regole, che sono analoghe alle regole di derivazione e riconoscere bene da quali variabili
dipende la cosa che devi differenziare. Il caso che stiamo esaminando è particolarmente insidioso, dato che c'è sempre sottinteso
$z=f(x,y)$, cosa che fa riconoscere male come applicare le regole di derivazione. Credo che riflettendoci un po' ne verrai a capo.
E' vero peraltro che la cosa è complicata.
Ciao!
Bhe, seccondo me si annullano entrambi perche' g e' la funzione costante e z e' una variabile indipendente. Quindi la somma dovrebbe far zero.
Infatti dopo aver letto questo discorso c'ho messo un po' di tempo per capire come l'hanno risolto nel pagani e salsa ed alla fine l'ho risolto nel modo mio per cui ci voleva un po' di piu' di 5 righe che hanno messo per questo esercizio nel libro.
"Mondo":
Differenziando ancora abbiamo:
$d^2g+g_zd^2z=0$"
Quest'ultima relazione da dove salta fuori?
Bhe, seccondo me si annullano entrambi perche' g e' la funzione costante e z e' una variabile indipendente. Quindi la somma dovrebbe far zero.
Infatti dopo aver letto questo discorso c'ho messo un po' di tempo per capire come l'hanno risolto nel pagani e salsa ed alla fine l'ho risolto nel modo mio per cui ci voleva un po' di piu' di 5 righe che hanno messo per questo esercizio nel libro.
Bhe, seccondo me si annullano entrambi
Mi sembra improbabile perchè $z=f(x,y)$ - secondo me c'è un errore di stampa.
si? ma poi procedono con il calcolo e viene lo stesso risultato mio. Boh.
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