Funzioni Implicite

[Amartya]

Salve a tutti,

ho il seguente problema:
Sia data la funzione:

$f(x,y)= e^x-(x-1)^2 + (sin y)^2$

Dimostrare che l'equazione $f(x,y)=0$ definisce implicitamente una funzione in un intorno di $(0,0)$. Provare, successivamente che $0$ è un punto critico per la funzione implicita e stabilirne la natura.

Per risolvere ho applicato il teorema del Dini, tuttavia sebbene $f(0,0) =0$, $f_y(0,0) =0$ e quindi non dovrebbe definire una funzione implicita nell'intorno di $(0,0)$.

Dove sto sbagliando?

Grazie per i suggerimenti.

[walter891]

Se $f_y(0,0)=0$ significa che non è definita la funzione del tipo $y=y(x)$, però il teorema è valido anche con le altre variabili: in questo caso $f_x(0,0)=3$ quindi esiste una funzione implicita del tipo $x=x(y)$

[Amartya]

"walter89":Se $f_y(0,0)=0$ significa che non è definita la funzione del tipo $y=y(x)$, però il teorema è valido anche con le altre variabili: in questo caso $f_x(0,0)=3$ quindi esiste una funzione implicita del tipo $x=x(y)$

ok, perfetto, significa quindi che possiamo esprimere una variabile funzione dell'altra indipendentemente, e che affinchè il teorema sia valido è necessario che la funzione sia definita implicitamente da almeno una delle variabili.

Grazie.