Funzioni implicite
Salve ho un problema col seguente esercizio:
Data la funzione $y(x)= e^x + x^4$, verificare che esiste un intorno I del punto x= 0 sul quale y(x) è invertibile. Detta x = g(y) la funzione inversa della restrizione di y(x) ad I, calcolare la formula di Taylor di ordine 2 di g(y) nel punto y = 1.
Allora ho dimostrato che y(x) è invertibile in I del punto x=0 con il teorema del Dini. La mia difficoltà è nella seconda parte. Dovrei considerare una funzione F(g(y),y) per cui fare lo sviluppo di Taylor...ma non riesco a visualizzare questa nuova funzione $F(g(y),y)$....mi potete aiutare? grazie
Data la funzione $y(x)= e^x + x^4$, verificare che esiste un intorno I del punto x= 0 sul quale y(x) è invertibile. Detta x = g(y) la funzione inversa della restrizione di y(x) ad I, calcolare la formula di Taylor di ordine 2 di g(y) nel punto y = 1.
Allora ho dimostrato che y(x) è invertibile in I del punto x=0 con il teorema del Dini. La mia difficoltà è nella seconda parte. Dovrei considerare una funzione F(g(y),y) per cui fare lo sviluppo di Taylor...ma non riesco a visualizzare questa nuova funzione $F(g(y),y)$....mi potete aiutare? grazie
Risposte
$F(x,y)=y-e^x-x^4$
Ma dov'è esattamente che devi arrivare ?
La funzione inversa non è esplicitabile come x=f(y).
Al limite puoi tentare uno sviluppo di taylor della inversa.
Se guardi qui http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... _implicite nell'esempio si dice la stessa cosa.
La funzione inversa non è esplicitabile come x=f(y).
Al limite puoi tentare uno sviluppo di taylor della inversa.
Se guardi qui http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... _implicite nell'esempio si dice la stessa cosa.
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