Funzioni implicitamente definite da un'equazione [AnalisiII]
Ciao a tutti.
Chi sarebbe così gentile da spiegarmi in maniera semplice l'oggetto?
Sul libro leggo che l'equazione f(x,y)=0 "definisce implicitamente" l'equazione y(x).
Ma questa equazione y(x) non riesco proprio a capire che razza di funzione sia! Perchè dovrebbe esserne "definita implicitamente"?
State parlando con un "novello", quindi andateci piano
grazie!
Chi sarebbe così gentile da spiegarmi in maniera semplice l'oggetto?
Sul libro leggo che l'equazione f(x,y)=0 "definisce implicitamente" l'equazione y(x).
Ma questa equazione y(x) non riesco proprio a capire che razza di funzione sia! Perchè dovrebbe esserne "definita implicitamente"?
State parlando con un "novello", quindi andateci piano
grazie!
Risposte
Stai per caso studiando il teorema di Dini? 
In questo caso, trovi una trattazione senza troppe pretese qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_delle_funzioni_implicite.
In questo caso, trovi una trattazione senza troppe pretese qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_delle_funzioni_implicite.
Si, il teorema di Dini è esattamente il prossimo step nel programma!!
Si, quella pagina l'ho già letta, ma il mio dubbio rimane: in che modo la funzione f(x,y)=0 può definire la funzione y=y(x) ???
Si, quella pagina l'ho già letta, ma il mio dubbio rimane: in che modo la funzione f(x,y)=0 può definire la funzione y=y(x) ???
Prendi, ad esempio, $f(x,y):=x+y-1$; l'equazione $f(x,y)=0$ si scrive $x+y-1=0$ e la funzione definita implicitamente da tale equazione la trovi esplicitando rispetto ad $y$: essa è evidentemente $y(x)=1-x$.
Quello che stai facendo, matemeticamente parlando, è prendere il luogo delle soluzioni dell'equazione $f(x,y)=0$ (che è un sottoinsieme di $RR^2$) e descriverlo come grafico della funzione $y(x)$.
Il problema è questo: non sempre è facile "fare i conti" per esplicitare in $f(x,y)=0$ la $y$ rispetto ad $x$* epperò tante volte è assolutamente necessario descrivere il luogo delle soluzioni dell'equazione $f(x,y)=0$ come il grafico di una funzione di $x$ (ad esempio, in Geometria Differenziale).
Quindi servono dei risultati che ti consentano di dire: "Una funzione del tipo $y(x)$ definita implicitamente da $f(x,y)=0$ esiste, anche se è difficilissimo calcolarla esplicitamente"; il teorema del Dini è un risultato del genere.
__________
* Questo perchè la $f$ può avere una forma anche "molto complicata"...
Quello che stai facendo, matemeticamente parlando, è prendere il luogo delle soluzioni dell'equazione $f(x,y)=0$ (che è un sottoinsieme di $RR^2$) e descriverlo come grafico della funzione $y(x)$.
Il problema è questo: non sempre è facile "fare i conti" per esplicitare in $f(x,y)=0$ la $y$ rispetto ad $x$* epperò tante volte è assolutamente necessario descrivere il luogo delle soluzioni dell'equazione $f(x,y)=0$ come il grafico di una funzione di $x$ (ad esempio, in Geometria Differenziale).
Quindi servono dei risultati che ti consentano di dire: "Una funzione del tipo $y(x)$ definita implicitamente da $f(x,y)=0$ esiste, anche se è difficilissimo calcolarla esplicitamente"; il teorema del Dini è un risultato del genere.
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* Questo perchè la $f$ può avere una forma anche "molto complicata"...
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