Funzioni Implicitamente definite
Salve,mi ritrovavo ad affrontare il seguente esercizio,ma sono ad un punto morto 
Verificare che le equazioni:
a)$x^2+log(1+xy)+ye^(2y) =0$
b)$y+y^6 +x^2sqrt(x^2+1) =0$
definiscano implicitamente in un intorno dell'origine una ed una sola funzione y=f(x).
Per entrambe verificare che x=0 è un estremante e se ne determini la natura.
Verificare che le equazioni:
a)$x^2+log(1+xy)+ye^(2y) =0$
b)$y+y^6 +x^2sqrt(x^2+1) =0$
definiscano implicitamente in un intorno dell'origine una ed una sola funzione y=f(x).
Per entrambe verificare che x=0 è un estremante e se ne determini la natura.
Risposte
Il punto morto qual è?
Nel caso a)
[tex]f_x = 2x + {y \over {1 + xy}}[/tex]
[tex]f_y = {x \over {1+xy}} + e^{2y} + 2ye^{2y}[/tex]
Comincia ad analizzare le derivate parziali, sono continue?..... Guarda la [tex]f_y(0,0) \not= 0[/tex]
PS
Non so a che livello stai affrontando questo argomento, nel caso più generale di funzioni a valori in uno spazio euclideo di dimensioni superiore a 1, è molto utile studiare il caso per le trasformazioni lineari, la formula finale(caso non lineare) quella del differenziale(la derivata nel caso reale) della funzione implicita per intendersi, è analoga al caso di applicazioni lineari, e quindi ti riesce molto utile per ricordarti l'altra.
Nel caso a)
[tex]f_x = 2x + {y \over {1 + xy}}[/tex]
[tex]f_y = {x \over {1+xy}} + e^{2y} + 2ye^{2y}[/tex]
Comincia ad analizzare le derivate parziali, sono continue?..... Guarda la [tex]f_y(0,0) \not= 0[/tex]
PS
Non so a che livello stai affrontando questo argomento, nel caso più generale di funzioni a valori in uno spazio euclideo di dimensioni superiore a 1, è molto utile studiare il caso per le trasformazioni lineari, la formula finale(caso non lineare) quella del differenziale(la derivata nel caso reale) della funzione implicita per intendersi, è analoga al caso di applicazioni lineari, e quindi ti riesce molto utile per ricordarti l'altra.
Ciao,si avevo gia analizzato le derivate parziali,ed avevo notato che per entrambe le equazioni la derivata parziale rispetto ad y era diverso da zero,in particolare per entrambe era uguale ad 1,dunque applicando il Th del Dini,o Th delle Funzioni Implicite sappiamo che :
$ F in C'(A) (x0,y0) in A F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0)!=0 $
allora esiste un rettangolo nel quale $f(x0)=y0 $ ed $ F(x,f(x))=0 $
dunque esiste $f'(x)=-(Fx(x,f(x)))/(Fy(x,f(x)))
quindi nel mio caso so che esiste una ed una sola funzione $y=f(x)$
ora per verificare che $x=0$ sia estremante,e quindi la sua natura posso rifarmi a questa
(F xx (x0,y0))/(Fy(x0,y0)) >0 (Massimo)
(Fxx(x0,y0))/(Fy(x0,y0)) <0 (Minimo)
ps le ho scritte così perchè non so come indicare la Derivata parziale Pura rispetto alla variabile x
$ F in C'(A) (x0,y0) in A F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0)!=0 $
allora esiste un rettangolo nel quale $f(x0)=y0 $ ed $ F(x,f(x))=0 $
dunque esiste $f'(x)=-(Fx(x,f(x)))/(Fy(x,f(x)))
quindi nel mio caso so che esiste una ed una sola funzione $y=f(x)$
ora per verificare che $x=0$ sia estremante,e quindi la sua natura posso rifarmi a questa
(F xx (x0,y0))/(Fy(x0,y0)) >0 (Massimo)
(Fxx(x0,y0))/(Fy(x0,y0)) <0 (Minimo)
ps le ho scritte così perchè non so come indicare la Derivata parziale Pura rispetto alla variabile x
La derivata si deve annullare per essere un estremante, visto che l'esercizio parla di $x=0$ immagino parli delle funzioni implicite, quindi sostituisci nell'espressione della derivata $x=0$ ed effettivamente hai che la derivata si annulla.
Poi vedi se quello è un massimo o minimo relativo.
Poi vedi se quello è un massimo o minimo relativo.
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