Funzioni holderiane e convergenza uniforme
Sia [tex]\{f_n\}[/tex] una successione di funzioni a valori reali, holderiane di ordine [tex]0<\alpha<1[/tex], definite in [tex]K \subset \mathbb{R}^n[/tex] compatto. E' vero che se [tex]f_n \rightrightarrows f[/tex] (converge uniformemente a [tex]f[/tex]), anch'essa holderiana di ordine [tex]\alpha[/tex], non è detto in generale che [tex]||f_n - f||_\alpha \to 0[/tex], dove [tex]\displaystyle ||f||_\alpha := \sup_{x ,y \in K, \,\, x \ne y} \frac{|f(x)-f(y)|}{||x-y||^{\alpha}}[/tex] ? Potete darmi un controesempio?
Risposte
Mi sembra effettivamente possibile.
Butto lì un possibile esempio.
Sia $K=[0,1]$, e per ogni $n\in\mathbb{N}$ definiamo
$f_n(x) = 0$, se $x\in [0, x_n]$, $f_n(x) = n(x-x_n)^{\alpha}$, se $x\in (x_n, 1]$,
dove $x_n := 1-n^{-2/\alpha}$ è scelto in maniera tale che
[tex]\sup_{x\in [0,1]} f_n(x) = \frac{1}{n}[/tex]
(posto che io abbia fatto i calcoli correttamente).
Di conseguenza hai che $(f_n)$ converge uniformemente alla funzione nulla $f = 0$.
D'altra parte
[tex]\| f_n - f\|_{\alpha} = \|f_n\|_{\alpha} = n.[/tex]
Butto lì un possibile esempio.
Sia $K=[0,1]$, e per ogni $n\in\mathbb{N}$ definiamo
$f_n(x) = 0$, se $x\in [0, x_n]$, $f_n(x) = n(x-x_n)^{\alpha}$, se $x\in (x_n, 1]$,
dove $x_n := 1-n^{-2/\alpha}$ è scelto in maniera tale che
[tex]\sup_{x\in [0,1]} f_n(x) = \frac{1}{n}[/tex]
(posto che io abbia fatto i calcoli correttamente).
Di conseguenza hai che $(f_n)$ converge uniformemente alla funzione nulla $f = 0$.
D'altra parte
[tex]\| f_n - f\|_{\alpha} = \|f_n\|_{\alpha} = n.[/tex]
"fireball":
Sia [tex]\{f_n\}[/tex] una successione di funzioni a valori reali, holderiane di ordine [tex]0<\alpha<1[/tex], definite in [tex]K \subset \mathbb{R}^n[/tex] compatto. E' vero che se [tex]f_n \rightrightarrows f[/tex] (converge uniformemente a [tex]f[/tex]), anch'essa holderiana di ordine [tex]\alpha[/tex], non è detto in generale che [tex]||f_n - f||_\alpha \to 0[/tex], dove [tex]\displaystyle ||f||_\alpha := \sup_{x ,y \in K, \,\, x \ne y} \frac{|f(x)-f(y)|}{||x-y||^{\alpha}}[/tex] ? Potete darmi un controesempio?
Sento odore di Analisi Funzionale
Grazie mille Rigel!
@Camillo. Il tuo olfatto non fallisce...
@Camillo. Il tuo olfatto non fallisce...
@Righello: Bel controesempio! 
Ah, ma qui:
ci deve andare [tex]$x$[/tex] al posto di [tex]$x_n$[/tex], no?
Ah, ma qui:
"Rigel":
$f_n(x) = n(1-x_n)^{\alpha}$, se $x\in (x_n, 1]$,
dove $x_n := 1-n^{-2/\alpha}$
ci deve andare [tex]$x$[/tex] al posto di [tex]$x_n$[/tex], no?
"gugo82":
@Righello: Bel controesempio!
Ah, ma qui:
[quote="Rigel"]$f_n(x) = n(1-x_n)^{\alpha}$, se $x\in (x_n, 1]$,
dove $x_n := 1-n^{-2/\alpha}$
ci deve andare [tex]$x$[/tex] al posto di [tex]$x_n$[/tex], no?[/quote]
yessss, ovviamente! Ora correggo, grazie.
Ed io avevo sbagliato a descrivere il typo.. Mo' ci vorrebbe la correzione della correzione!
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