Funzioni hölderiane
La definizione di funzione holderiana è nota, ma la riprendo perchè la domanda riguarda proprio la definizione.
Siano [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{R}^N$[/tex] un aperto ed [tex]$f:\Omega \to \mathbb{R}$[/tex].
La funzione [tex]$f$[/tex] è detta (uniformemente) hölderiana in [tex]$\Omega$[/tex] se esistono un [tex]$\alpha \in ]0,1]$[/tex] ed una costante [tex]$C\geq 0$[/tex] tali che:
[tex]$\forall x\neq y\in \Omega,\quad |f(x)-f(y)|\leq C |x-y|^\alpha$[/tex].
Recentemente, mi chiedevo perchè si impone la restrizione [tex]$\alpha \leq 1$[/tex].
La risposta che ho trovato è la seguente: se [tex]$f$[/tex] fosse hölderiana con esponente [tex]$\alpha >1$[/tex] si avrebbe:
[tex]$\forall x\neq y\in \Omega ,\quad 0\leq \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \leq C\ |x-y|^{\alpha -1}$[/tex]
con [tex]$\alpha -1>0$[/tex], ergo [tex]$f$[/tex] sarebbe derivabile in [tex]$\Omega$[/tex] ed avrebbe gradiente nullo; pertanto [tex]$f$[/tex] sarebbe costante in ogni componente connessa di [tex]$\Omega$[/tex].
Quindi non esistono altre funzioni hölderiane con esponente [tex]$>1$[/tex] che le funzioni costanti (in ogni componente connessa dell'aperto di definizione).
Giusto?
Siano [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{R}^N$[/tex] un aperto ed [tex]$f:\Omega \to \mathbb{R}$[/tex].
La funzione [tex]$f$[/tex] è detta (uniformemente) hölderiana in [tex]$\Omega$[/tex] se esistono un [tex]$\alpha \in ]0,1]$[/tex] ed una costante [tex]$C\geq 0$[/tex] tali che:
[tex]$\forall x\neq y\in \Omega,\quad |f(x)-f(y)|\leq C |x-y|^\alpha$[/tex].
Recentemente, mi chiedevo perchè si impone la restrizione [tex]$\alpha \leq 1$[/tex].
La risposta che ho trovato è la seguente: se [tex]$f$[/tex] fosse hölderiana con esponente [tex]$\alpha >1$[/tex] si avrebbe:
[tex]$\forall x\neq y\in \Omega ,\quad 0\leq \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \leq C\ |x-y|^{\alpha -1}$[/tex]
con [tex]$\alpha -1>0$[/tex], ergo [tex]$f$[/tex] sarebbe derivabile in [tex]$\Omega$[/tex] ed avrebbe gradiente nullo; pertanto [tex]$f$[/tex] sarebbe costante in ogni componente connessa di [tex]$\Omega$[/tex].
Quindi non esistono altre funzioni hölderiane con esponente [tex]$>1$[/tex] che le funzioni costanti (in ogni componente connessa dell'aperto di definizione).
Giusto?
Risposte
Ma è un esercizio che proponi o una domanda che fai al forum? In ogni caso, anche io mi ero posto la stessa questione giungendo alla stessa conclusione.
direi di si. Almeno è cosi che mi è stato spiegato nel corso di analisi
@dissonance: Era una domanda a voialtri... 
Non so perchè non mi ero mai soffermato sulla questione prima; quando poi ho cominciato a leggere il Gilbarg-Trudinger mi sono posto la domanda...
@Luc@s: Grazie.
Non so perchè non mi ero mai soffermato sulla questione prima; quando poi ho cominciato a leggere il Gilbarg-Trudinger mi sono posto la domanda...
@Luc@s: Grazie.
per completezza ti riporto qualche appunto che ho ritrovato dei tempi del corso, spero ti servano a qualcosa
OT
" se A è bello "
Fantastico, amo la matematica!
/OT
" se A è bello "
Fantastico, amo la matematica!
/OT
[OT]
Azz Luc@s, che grafia... Ma è la tua?
[/OT]
Azz Luc@s, che grafia... Ma è la tua?
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[ot]
è di un mio compagno che scrive cosi bene che non potevo non avere i suoi appunti( all'epoca scrivevo ancora maluccio, ora mi sono ripreso e sono molto più comprensibile)
è di un mio compagno che scrive cosi bene che non potevo non avere i suoi appunti( all'epoca scrivevo ancora maluccio, ora mi sono ripreso e sono molto più comprensibile)
Riesumo il thread per una questione che credo di semplice soluzione, ma su cui vorrei consiglio...
Se ho una funzione [tex]$u\in C([0,1]) \cap C^1(]0,1])$[/tex] con derivata [tex]$u^\prime (x) \approx \tfrac{1}{x^{1-\alpha}}$[/tex] per [tex]$x\to 0^+$[/tex] ed [tex]$\alpha \in ]0,1[$[/tex], posso dire che [tex]$u$[/tex] è hölderiana in [tex]$[0,1]$[/tex] con esponente [tex]$\alpha$[/tex]?
Se ho una funzione [tex]$u\in C([0,1]) \cap C^1(]0,1])$[/tex] con derivata [tex]$u^\prime (x) \approx \tfrac{1}{x^{1-\alpha}}$[/tex] per [tex]$x\to 0^+$[/tex] ed [tex]$\alpha \in ]0,1[$[/tex], posso dire che [tex]$u$[/tex] è hölderiana in [tex]$[0,1]$[/tex] con esponente [tex]$\alpha$[/tex]?
"gugo82":
Riesumo il thread per una questione che credo di semplice soluzione, ma su cui vorrei consiglio...
Se ho una funzione [tex]$u\in C([0,1]) \cap C^1(]0,1])$[/tex] con derivata [tex]$u^\prime (x) \approx \tfrac{1}{x^{1-\alpha}}$[/tex] per [tex]$x\to 0^+$[/tex] ed [tex]$\alpha \in ]0,1[$[/tex], posso dire che [tex]$u$[/tex] è hölderiana in [tex]$[0,1]$[/tex] con esponente [tex]$\alpha$[/tex]?
Cosa vuoi dire esattamente con questo? [tex]$u^\prime (x) \approx \tfrac{1}{x^{1-\alpha}}$[/tex], che la derivata destra di [tex]u[/tex]in zero è [tex]+\infty[/tex]?.
Se si non può essere holderiana(ma non ne sono sicuro
), a prescindere dal valore di [tex]u[/tex] in zero.Per quanto riguarda la conclusione del primo post, mi sembra corretta.
Applichiamo lagrange, in un intervallo [tex][0,x][/tex] [tex]x[/tex] prossimo a zero, viene [tex]u(x) = {{1 \over {{x_1}^(1-\alpha)}}*x}[/tex] [tex]x_1 < x[/tex]. quindi avremo:
[tex]u(x) = {{1\over (x_1/x)^(1-\alpha)} }* x^{\alpha}[/tex]
[edit] se la derivata è esattamente quella, credo dipendi dalla primitiva e dalla costante che aggiungo, cioè se aggiungo una costante non è holderiana se non l'aggiungo è holderiana. sbaglio?
Dalle ipotesi abbiamo che esiste $C>0$ t.c. $|u'(x)| \le C x^{\alpha-1}$ per ogni $x\in (0,1]$.
Di conseguenza, se $0
D'altra parte $y^{\alpha}-x^{\alpha} \le (y-x)^{\alpha}$, come si può dimostrare omogeneizzando dividendo per $y$.
Otteniamo quindi
$|u(y)-u(x)|\le \frac{C}{\alpha} |y-x|^{\alpha}$ per ogni $0
$|u(y) - u(x)| \le \frac{C}{\alpha} |y-x|^{\alpha}$ per ogni $x,y\in [0,1]$.
Di conseguenza, se $0
D'altra parte $y^{\alpha}-x^{\alpha} \le (y-x)^{\alpha}$, come si può dimostrare omogeneizzando dividendo per $y$.
Otteniamo quindi
$|u(y)-u(x)|\le \frac{C}{\alpha} |y-x|^{\alpha}$ per ogni $0
$|u(y) - u(x)| \le \frac{C}{\alpha} |y-x|^{\alpha}$ per ogni $x,y\in [0,1]$.
Cavolo non ne ho imbroccata una, bella dimostrazione Rigel!
@Rigel: Grazie; è la stessa dimostrazione che era venuta in mente a me e, vista la tua solita precisione, prendo il tuo post come un'autorevole conferma.
@regim: Ovvio che c'era qualcosa che non andasse nelle tue considerazioni: infatti, [tex]$u(x):=\sqrt{x}$[/tex] è [tex]$\tfrac{1}{2}$[/tex]-hölderiana (per la disuguaglianza elementare [tex]$|\sqrt{x} -\sqrt{y}|\leq \sqrt{|x-y|}$[/tex]) nonostante abbia [tex]$u^\prime (x)\to +\infty$[/tex] per [tex]$x\to 0^+$[/tex].
Tra l'altro, la hölderianità (al contrario della lipschitzianità) non ha rapporti così stringenti con la derivabilità, come mostra appunto la funzione radice: insomma, al contrario delle funzioni lipschitziane, una funzione hölderiana non è tenuta minimamente ad avere derivata (nemmeno q.o.) né tantomeno ad avere derivata limitata (nel caso ce l'abbia).
@regim: Ovvio che c'era qualcosa che non andasse nelle tue considerazioni: infatti, [tex]$u(x):=\sqrt{x}$[/tex] è [tex]$\tfrac{1}{2}$[/tex]-hölderiana (per la disuguaglianza elementare [tex]$|\sqrt{x} -\sqrt{y}|\leq \sqrt{|x-y|}$[/tex]) nonostante abbia [tex]$u^\prime (x)\to +\infty$[/tex] per [tex]$x\to 0^+$[/tex].
Tra l'altro, la hölderianità (al contrario della lipschitzianità) non ha rapporti così stringenti con la derivabilità, come mostra appunto la funzione radice: insomma, al contrario delle funzioni lipschitziane, una funzione hölderiana non è tenuta minimamente ad avere derivata (nemmeno q.o.) né tantomeno ad avere derivata limitata (nel caso ce l'abbia).
@Gugo Ok thanks
"gugo82":
@Rigel: Grazie; è la stessa dimostrazione che era venuta in mente a me e, vista la tua solita precisione, prendo il tuo post come un'autorevole conferma.
Prendere i miei post come "autorevoli" conferme è alquanto rischioso!
... Tra l'altro, la hölderianità (al contrario della lipschitzianità) non ha rapporti così stringenti con la derivabilità, come mostra appunto la funzione radice: insomma, al contrario delle funzioni lipschitziane, una funzione hölderiana non è tenuta minimamente ad avere derivata (nemmeno q.o.) né tantomeno ad avere derivata limitata (nel caso ce l'abbia).
Il classico esempio di funzione continua ma mai derivabile viene utile anche in questo contesto; la funzione
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(a^n x)}{b^n}$, con $a > b > 1$,
è $\alpha$-Hölderiana per ogni $\alpha < \log b / \log a$, ma non è differenziabile in alcun punto.
"gugo82":
La definizione di funzione holderiana è nota, ma la riprendo perchè la domanda riguarda proprio la definizione.
Siano [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{R}^N$[/tex] un aperto ed [tex]$f:\Omega \to \mathbb{R}$[/tex].
La funzione [tex]$f$[/tex] è detta (uniformemente) hölderiana in [tex]$\Omega$[/tex] se esistono un [tex]$\alpha \in ]0,1]$[/tex] ed una costante [tex]$C\geq 0$[/tex] tali che:
[tex]$\forall x\neq y\in \Omega,\quad |f(x)-f(y)|\leq C |x-y|^\alpha$[/tex].
Recentemente, mi chiedevo perchè si impone la restrizione [tex]$\alpha \leq 1$[/tex].
La risposta che ho trovato è la seguente: se [tex]$f$[/tex] fosse hölderiana con esponente [tex]$\alpha >1$[/tex] si avrebbe:
[tex]$\forall x\neq y\in \Omega ,\quad 0\leq \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \leq C\ |x-y|^{\alpha -1}$[/tex]
con [tex]$\alpha -1>0$[/tex], ergo [tex]$f$[/tex] sarebbe derivabile in [tex]$\Omega$[/tex] ed avrebbe gradiente nullo; pertanto [tex]$f$[/tex] sarebbe costante in ogni componente connessa di [tex]$\Omega$[/tex].
Quindi non esistono altre funzioni hölderiane con esponente [tex]$>1$[/tex] che le funzioni costanti (in ogni componente connessa dell'aperto di definizione).
Giusto?
Cito tutto questo vecchio messaggio e riporto a galla questo thread solo per ringraziare l'autore e per sottolineare quanto sia utile cercare prima di postare
Qui l'autore ha risposto esattamente e perfettamente alla mia domanda, tanto che nel mio quaderno ho scritto:
Teorema di gugo82. Le funzioni $\alpha$-hölderiane con $\alpha>1$ sono tutte e sole le funzioni costanti.
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