Funzioni generalizzate

[spassky]

Ho preso in mano delle dispense di Metodi Matematici per l'ingegneria e mi hanno affascinato particolarmente le parti in cui si trattava della teoria delle distribuzioni, dei funzionali e delle funzioni generalizzate.
Non è che mi direste a grandi tratti cosa descrive questo ramo della matematica ? Inoltre, l'autore degli appunti fa delle osservazioni storiche, facendo notare che sebbene prima degli anni '50 non ci fosse una teoria rigorosa delle distribuzioni, ad esempio, fisici e ingegneri, usavano abitualmente le funzioni generalizzate per i loro conti... Altre note storiche di rilievo ?
O link ad informazioni ?
Infine, eccetto qualcosa elementare sull'elaborazione dei segnali ( delta di Dirac) a quale altre situazioni risultano utili le funzioni generalizzate ed in generale la teoria dei funzionali lineari ?

Grazie

[CA10]

Ma qui c'è da scrivere un romanzo! Normalmente ogni buon testo didattico sulle distribuzioni fa una breve introduzione storica. Distribuzione è un concetto che generalizza la nozione di funzione, introducendo oggetti quali la delta di Dirac e le sue derivate che, anche se assomigliano intuitivamente a delle funzioni, funzioni non sono. Le applicazioni, oltre che in meccanica quantistica, e nella teoria dei sistemi-dei segnali-del controllo si hanno nella matematica stessa. Per esempio, l'operazione di derivazione, quando si fa nel senso delle distribuzioni è sempre possibile ed è continua (nel senso classico una funzione discontinua non è derivabile!). Si può capire come la teoria delle distribuzioni sia un nuovo metodo potente per ambientare le equazioni differenziali, ordinarie e alle derivate parziali. Se vuoi una analogia, pensa ai successivi ampliamenti del concetto di numero: dai naturali ai complessi, fatti per liberare da eccezioni le operazioni. Analogamente le distribuzioni estendono il concetto di funzione, dando significato ad operazioni che altrimenti non sarebbero state definite. Importante, se le vuoi capire bene e utilizzarle nelle applicazioni, capirne la definzione formale (un funzionale lineare continuo etc etc), ma, una volta capita non dimenticarne il significato intuitivo e il motivo per cui è stata scelta una definizione, apparentemente complicata.