Funzioni equivalenti e integrali indefiniti

[Daken97]

Salve a tutti. Il risultato a cui sono giunto mi è sembrato a dir poco paradossale, soprattutto perché è un aspetto che non è mai stato sottolineato. Partiamo con un esempio: $ f(x)=1/(x+1 $ e $ g(x)=2/(2x+2) $ sono indubbiamente funzioni equivalenti. Tuttavia, non posso dire lo stesso per le primitive; infatti $ int_()^()1/(x+1) dx=log|x+1|+c $ e $ int_()^()(2)/(2x+2) dx=log|2x+2|+c $. La domanda sorge spontanea: mi sfugge qualcosa (magari legato alle costanti arbitrarie), oppure i risultati a cui siamo giunti sono differenti? Se la risposta fosse la seconda, le cose si complicherebbero, perché significherebbe che sostituire una funzione con un'espressione equivalente (i classici trucchetti algebrici) potrebbe portare a risultati errati.

[Mephlip]

Giusto il sospetto che ti sta sfuggendo qualcosa sulle costanti arbitrarie. Le primitive sono equivalenti perché:
$$\ln|2x+2|+c=\ln|2(x+1)|+c=\ln2+\ln|x+1|+c=\ln|x+1|+k$$
Avendo posto $k:=\ln2+c$.

[Daken97]

"Mephlip":Giusto il sospetto che ti sfugge qualcosa sulle costanti arbitrarie. Le primitive sono equivalenti perché:
$$\ln|2x+2|+c=\ln|[2(x+1)]|+c=\ln2+\ln|x+1|+c=\ln|x+1|+k$$
Avendo posto $k:=\ln2+c$.

Perfetto, quindi a parte le apparenze, le soluzioni sono equivalenti, e pertanto entrambe accettabili. Grazie mille!

[Mephlip]

Sì, attenzione che questo viene da un teorema molto importante del calcolo integrale: due primitive sono equivalenti se differiscono per una costante. Ossia: data $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ continua, se $F_1$ ed $F_2$ sono primitive di $f$ esiste $c\in\mathbb{R}$ tale che $F_1(x)=F_2(x)+c$ per ogni $x\in[a,b]$.

Una cosa molto utile, nel caso delle primitive, è derivare il risultato; se torna la funzione integranda puoi star certo che quella è una primitiva.
Hai che
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\ln(x+1)+c\right)=\frac{1}{x+1}$$
Analogamente
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\ln(2x+2)+c\right)=\frac{2}{2x+2}=\frac{2}{2(x+1)}=\frac{1}{x+1}$$
Quindi entrambe sono sicuramente primitive di $\frac{1}{x+1}$.
(Comunque ora che ci faccio caso c'è un typo nel messaggio iniziale, c'è una $x$ di troppo al numeratore della prima funzione integranda).

[Daken97]

"Mephlip":Sì, attenzione che questo viene da un teorema molto importante del calcolo integrale: due primitive sono equivalenti se differiscono per una costante. Ossia: data $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ continua, se $F_1$ ed $F_2$ sono primitive di $f$ esiste $c\in\mathbb{R}$ tale che $F_1(x)=F_2(x)+c$ per ogni $x\in[a,b]$.

Una cosa molto utile, nel caso delle primitive, è derivare il risultato; se torna la funzione integranda puoi star certo che quella è una primitiva.
Hai che
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\ln(x+1)+c\right)=\frac{1}{x+1}$$
Analogamente
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\ln(2x+2)+c\right)=\frac{2}{2x+2}=\frac{2}{2(x+1)}=\frac{1}{x+1}$$
Quindi entrambe sono sicuramente primitive di $\frac{1}{x+1}$.

Perfetto, ho corretto quella cosa.

Anche se, sulla tua ultima affermazione ci andrei cauto. Ad esempio, la derivata di $ log(x) $ è $ 1/x $, ma l'integrale di quest'ultima funzione chiede (per quanto riguarda l'argomento del logaritmo) il valore assoluto, per una questione di dominio... pertanto è $ log|x| $. Non scordiamoci che, per definizione, una funzione e una sua primitiva devono essere definite nel medesimo insieme.

[gugo82]

"Daken97":Non scordiamoci che, per definizione, una funzione e una sua primitiva devono essere definite nel medesimo insieme.

No.
Devono essere definite nel medesimo intervallo.

[Daken97]

"gugo82":[quote="Daken97"]Non scordiamoci che, per definizione, una funzione e una sua primitiva devono essere definite nel medesimo insieme.

No.
Devono essere definite nel medesimo intervallo.[/quote]

Sì, è più preciso affermare questo, per far valere la relazione che lega tutte le primitive di una funzione (discostano per una costante).

Comunque, rimane il fatto che, in virtù di questa definizione, la primitiva di $ f(x)=1/x $ è generalmente $ F(x)=log|x| $, a meno che non asseriamo dall'inizio che $ f(x) $ è definita in un intervallo i cui estremi sono numeri reali positivi.

[gugo82]

No.

Una primitiva di $f(x):=1/x$ è $F(x) :=log x$ se la si cerca in $]0,+oo[$, $F(x):=log(-x)$ se la si ricerca in $]-oo,0[$.
Insomma, l'intervallo in cui effettuare la ricerca dovrebbe essere un dato del problema.

Scrivere $int 1/x "d"x = log |x| + C$ serve solo a rendere più compatta la cosa quando il problema è posto male.

[Daken97]

"gugo82":No.

Una primitiva di $f(x):=1/x$ è $F(x) :=log x$ se la si cerca in $]0,+oo[$, $F(x):=log(-x)$ se la si ricerca in $]-oo,0[$.
Insomma, l'intervallo in cui effettuare la ricerca dovrebbe essere un dato del problema.

Scrivere $int 1/x "d"x = log |x| + C$ serve solo a rendere più compatta la cosa quando il problema è posto male.

Il fatto è che, quando si assegnano esercizi sugli integrali indefiniti, non viene specificato praticamente mai l'intervallo di definizione. Ergo, scrivere $ int_()^()1/x dx =log|x|+c $ serve proprio per coprire tutti i casi possibili, poiché, come hai specificato anche tu, $ F=log(x) $ è una primitiva di $ f=1/x $ nel caso in cui quest'ultima è definita in un intervallo i cui estremi sono valori reali positivi... o al limite (questo non lo avevo incluso nel precedente post) $ (0,+∞) $. Non a caso, su ogni tavola degli integrali compare quella forma, proprio perché è universale.