Funzioni e relativo dominio
Ho le seguenti funzioni:
1) $logsqrt(x^2+3)$
2) $logsqrt(x^2-3)/(|x^2-4|)$
3) $sqrt(x+5)/log(x+3)$
Trovare il loro dominio.
Per la prima io ho impostato il sistema con $sqrt(x^2+3)>0$ e $x^2+3>=0$. E' giusto o basterebbe imporre $sqrt(x^2+3)>0$ e stop??
Per la seconda ho imposto $x^2-3>=0$ e $|x^2-4| diverso da 0$.
Grazie, ciao.
Per l'ultima ho imposto $log(x+3) diverso da 0$ e $x+3>0$
1) $logsqrt(x^2+3)$
2) $logsqrt(x^2-3)/(|x^2-4|)$
3) $sqrt(x+5)/log(x+3)$
Trovare il loro dominio.
Per la prima io ho impostato il sistema con $sqrt(x^2+3)>0$ e $x^2+3>=0$. E' giusto o basterebbe imporre $sqrt(x^2+3)>0$ e stop??
Per la seconda ho imposto $x^2-3>=0$ e $|x^2-4| diverso da 0$.
Grazie, ciao.
Per l'ultima ho imposto $log(x+3) diverso da 0$ e $x+3>0$
Risposte
Per la prima va bene imporre l'argomento del logaritmo maggiore di zero, ma si deve imporre anche che il radicando non sia negativo, altrimenti la radice non esiste (in questo caso non importava farlo, ma questo è un caso particolare).
La seconda va bene, nella terza deve imporre anche $x \ge -5$, altrimenti la radice non esiste.
A dire il vero, una volta posto $x>\-3$ la precedente condizione si potrebbe anche omettere, l'importante è che ti ricordi che quando una radice ha indice pari il radicando non deve mai essere negativo.
La seconda va bene, nella terza deve imporre anche $x \ge -5$, altrimenti la radice non esiste.
A dire il vero, una volta posto $x>\-3$ la precedente condizione si potrebbe anche omettere, l'importante è che ti ricordi che quando una radice ha indice pari il radicando non deve mai essere negativo.
Quindi per la seconda non devo imporre $sqrt(x^2-3)>0$ che è l'argomento del logaritmo?
Avevo letto male, non fare caso a quello che avevo scritto prima.
Devi imporre $\sqrt{x^2-3}>0$ e $x^2-3 \ge 0$
Devi imporre $\sqrt{x^2-3}>0$ e $x^2-3 \ge 0$
E anche $|x^2-4| ne 0 $, no?
Un altro dubbio che riguarda la prima: se io impongo le 2 condizioni quella $x^2+3>=0$ non potrà mai essere = a 0. Quindi il sistema diventa: prima condizione: $qualsiasi x in R$
seconda condizione: $ non$ $esiste$ x $
e l'intersezione dà l'insieme vuoto e invece la soluzione sarebbe $(-inf,+inf)$.
$every$
Un altro dubbio che riguarda la prima: se io impongo le 2 condizioni quella $x^2+3>=0$ non potrà mai essere = a 0. Quindi il sistema diventa: prima condizione: $qualsiasi x in R$
seconda condizione: $ non$ $esiste$ x $
e l'intersezione dà l'insieme vuoto e invece la soluzione sarebbe $(-inf,+inf)$.
$every$
"kelsen":
E anche $|x^2-4| ne 0 $, no?
Certo, bisogna imporre anche questa.
"kelsen":
Un altro dubbio che riguarda la prima: se io impongo le 2 condizioni quella $x^2+3>=0$ non potrà mai essere = a 0. Quindi il sistema diventa: prima condizione: $qualsiasi x in R$
seconda condizione: $ non$ $esiste$ x $
e l'intersezione dà l'insieme vuoto e invece la soluzione sarebbe $(-inf,+inf)$.
$every$
Se devi risolvere $x^2+3 \ge 0$ è vero che non si annulla mai, ma è anche vero che è sempre positiva, quindi la soluzione è $\forall x \in \mathbb{R}$.
PS: Ma il radicando è $x^2+3$ o $x^2-3$?
E' $sqrtx^2+3$ perchè mi riferisco alla prima funzione. è la seconda che è $sqrt(x^2-3)$.
No scusa ho sbagliato a scrivere nel penultimo messaggio é $sqrt(x^2+3)$ non $sqrtx^2+3$.
Ma la soluzione della seconda funzione dovrebbe essere $D= (-oo,-2)U(-2,-sqrt3)U(sqrt3, 2)U(2,+oo)$ e invece a me verrebbe diversamente con le condizioni precedentemente imposte.
$\sqrt{x^2-3}>0$ verificato per $x \ne \pm \sqrt{3}$
$x^2-3 \ge 0$ verificato per $x \le -\sqrt{3} \cup x \ge \sqrt{3}$
$|x^2-4| \ne 0$ verificato per $x \ne \pm 2$
Mettendo a sistema queste soluzioni si trova $x < -\sqrt{3} \cup x > \sqrt{3}$ con $x \ne \pm 2$.
$x^2-3 \ge 0$ verificato per $x \le -\sqrt{3} \cup x \ge \sqrt{3}$
$|x^2-4| \ne 0$ verificato per $x \ne \pm 2$
Mettendo a sistema queste soluzioni si trova $x < -\sqrt{3} \cup x > \sqrt{3}$ con $x \ne \pm 2$.
Un esercizio mi chiede la disequazione $log(1/4)(x-1)>=-1$ è verificata per: vuol dire che devo trovare il dominio della funzione?
Perchè se così fosse la soluzione mi verrebbe x>=5 .
Grazie per l'aiuto. Ciao.
Perchè se così fosse la soluzione mi verrebbe x>=5 .
Grazie per l'aiuto. Ciao.
Devi determinare sia le condizioni di esistenza sia l'intervallo, o gli intervalli, in cui la disequazione è verificata. Metti a sistema e hai finito.
In questo caso l'argomento del logaritmo è $\frac{1}{4}$ oppure $\frac{1}{4}(x-1)$?
In questo caso l'argomento del logaritmo è $\frac{1}{4}$ oppure $\frac{1}{4}(x-1)$?
No scusa, 1/4 è la base del logaritmo e l'argomento è x-1.
Il logaritmo esiste se l'argomento è positivo, quindi il dominio è $x>1$.
Per risolvere la disequazione trasformi il $-1$ in $\log_{\frac{1}{4}}(4)$, ottenendo:
$\log_{\frac{1}{4}}(x-1) \ge \log_{\frac{1}{4}}(4)$
A questo punto si eliminano i logaritmi e si inverte il segno della disequazione, perché i logaritmi in base minore di uno sono funzioni monotone descrescenti, quindi si trova:
$x-1 \le 4$, cioè $x \le 5$
Mettendo a sistema questa soluzione con il dominio si trova la soluzione della disequazione, ovvero:
$1 < x \le 5$
Per risolvere la disequazione trasformi il $-1$ in $\log_{\frac{1}{4}}(4)$, ottenendo:
$\log_{\frac{1}{4}}(x-1) \ge \log_{\frac{1}{4}}(4)$
A questo punto si eliminano i logaritmi e si inverte il segno della disequazione, perché i logaritmi in base minore di uno sono funzioni monotone descrescenti, quindi si trova:
$x-1 \le 4$, cioè $x \le 5$
Mettendo a sistema questa soluzione con il dominio si trova la soluzione della disequazione, ovvero:
$1 < x \le 5$
Grazie, ho capito.
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