Funzioni e limiti
non capisco perche se ho $a^n/n!$ con a reale, devo fare tutti i casi riguardanti a... ma non e una potenza????comunque sia dovebbe essere sempre positiva
Risposte
intanto è una successione quella ed immagino sia scritta cosi
\[a_n:=\frac{a^n}{n!}\]
se $a=-3$ ad esempio hai
\[a_n:=\frac{(-3)^n}{n!}=(-1)^n\cdot\frac{3^n}{n!}=\]
e non mi sembra sempre positiva....
\[a_n:=\frac{a^n}{n!}\]
se $a=-3$ ad esempio hai
\[a_n:=\frac{(-3)^n}{n!}=(-1)^n\cdot\frac{3^n}{n!}=\]
e non mi sembra sempre positiva....
si scusami ho scritto male...in effetti per n dispari e negativa...ma allora come faccio a capire quali sono i casi di a? non capisco se e una potenza o esponenziale come dovre ragionare
è una potenza non è un'esponenziale 
il problema non è ben posto: cosa devi calcolare?
il problema non è ben posto: cosa devi calcolare?
in pratica devo applicare il criterio del rapporto per provare che $lim(a^n/(n!)) = 0 $ n tente a infinito, con a reale. io anche pensavo che fosse una potenza perchè n è naturale e varia solo la basa essendo reale, ma io so che la potenza come dominio va da 0 a +infinito perchè devo farmi i casi per a? io so che i casi di fatto per l'esponenziale....
se si tratta di calcolare quel limite con il criterio del rapporto per successioni, devi ricordare prima il criterio!
Sia $a_n$ una successione a termini positivi. Se la successione $a_{n+1}/a_n$
converge ad un limite $l < 1$ allora la successione $a_n$ è strettamente decrescente e converge a zero. Se $l > 1$
allora la successione è strettamente crescente e diverge a $+\infty$. Se $l = 1$ non si può dire niente.
come vedi, la richiesta iniziale è che la successione sia a termin positivi allora ne dovrai necessariamente considerare il valore assoluto:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{a^n}{n!}\right|&=\lim_{n\to+\infty} \frac{|a|^n}{n!} \stackrel{Ratio}{=} \lim_{n\to+\infty}\frac{|a|^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{|a|^n}=\lim_{n\to+\infty} \frac{|a|^{n }\cdot |a|}{n!(n+1) }\cdot \frac{n!}{|a|^n}\\
&=\lim_{n\to+\infty} \frac{ |a|}{ (n+1) }=0<1\to\mbox{il limite è } 0
\end{align}
Sia $a_n$ una successione a termini positivi. Se la successione $a_{n+1}/a_n$
converge ad un limite $l < 1$ allora la successione $a_n$ è strettamente decrescente e converge a zero. Se $l > 1$
allora la successione è strettamente crescente e diverge a $+\infty$. Se $l = 1$ non si può dire niente.
come vedi, la richiesta iniziale è che la successione sia a termin positivi allora ne dovrai necessariamente considerare il valore assoluto:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{a^n}{n!}\right|&=\lim_{n\to+\infty} \frac{|a|^n}{n!} \stackrel{Ratio}{=} \lim_{n\to+\infty}\frac{|a|^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{|a|^n}=\lim_{n\to+\infty} \frac{|a|^{n }\cdot |a|}{n!(n+1) }\cdot \frac{n!}{|a|^n}\\
&=\lim_{n\to+\infty} \frac{ |a|}{ (n+1) }=0<1\to\mbox{il limite è } 0
\end{align}
si ho capito, la cosa che non mi salta all' occhio sono i casi di a: a=0, 01 perchè?
riguardante un limite incece se ho $lim n^3/e^n+n/e^n$ sempre per n che va a infinito possiamo dire che valgono tutti e due zero perchè l' esponente al numeratore è più piccolo? ingnorando per ora il contronto di infiniti
quel limite va a zero proprio per il confronto tra infiniti.
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