Funzioni e insiemi
Ciao a tutti. So che forse l'80% di voi trova che l'esercizio che vi chiderò di aiutarmi a capire sia una cavolata pazzesca, ma vi pregherei di essere comunque il più chiari possibile nelle vostre spiegazioni.
Siano X e Y insiemi, consideriamo $ f: X \to Y $ una funzione. Dimostra che queste proprietà sono equivalenti:
1- f è INIETTIVA
2- $ AA AsubX , f^-1(f(A))= A $
3- $ AA A,BsubX , f(A nn B) = f(A) nn f(B) $
4- $ AA A,BsubX, A nn B = \phi rArr f(A) nn f(B) = \phi $
alcune delle dimostrazioni sono più o meno in grado di farle, ma vi prego di non dare nulla per scontato, grazie!
(P.S. domanda generale, cosa vuol dire f composto g?)
Siano X e Y insiemi, consideriamo $ f: X \to Y $ una funzione. Dimostra che queste proprietà sono equivalenti:
1- f è INIETTIVA
2- $ AA AsubX , f^-1(f(A))= A $
3- $ AA A,BsubX , f(A nn B) = f(A) nn f(B) $
4- $ AA A,BsubX, A nn B = \phi rArr f(A) nn f(B) = \phi $
alcune delle dimostrazioni sono più o meno in grado di farle, ma vi prego di non dare nulla per scontato, grazie!
(P.S. domanda generale, cosa vuol dire f composto g?)
Risposte
Davvero? Nessuno?
Vi prego, se ho sbagliato a scrivere qualcosa ditemelo!
Vi prego, se ho sbagliato a scrivere qualcosa ditemelo!
Che definizione di funzione iniettiva riporta il tuo libro.
Una funzione $f : X \rightarrow Y$ si dice iniettiva se $\forall x_1,x_2 \in X$:
$$f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$$
Questa? Anche perché non ce ne sono altre che conosco all'interno del contesto in cui stiamo lavorando.
Ti consiglio di provare dimostrare che 1) implica 2 ), 2) implica 3), 3) implica 4) e 4) implica 1).
Una funzione $f : X \rightarrow Y$ si dice iniettiva se $\forall x_1,x_2 \in X$:
$$f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$$
Questa? Anche perché non ce ne sono altre che conosco all'interno del contesto in cui stiamo lavorando.
Ti consiglio di provare dimostrare che 1) implica 2 ), 2) implica 3), 3) implica 4) e 4) implica 1).
Si, si, fino a qui ci sono. Il punto è che non riesco a capire come dimostrare che 1) implica 2) . O meglio, più o meno mi hanno spiegato cosa fare, ma non capisco il come farlo ed il perchè. Quindi, qualcuno potrebbe dimostrare che 1) implica 2)?? (In classe hanno fatto la dimostrazione per assurdo, che a me è sembrata estremamente complicata, sapete se ce n'è una più semplice?)
Personalmente non vedo altra via se non quella di procedere per assurdo, questo tipo di proposizioni non si possono dimostrare altrimenti.
Edit: rimangio ciò che ho detto
Edit: rimangio ciò che ho detto
Per esempio se proprio vuoi...
Se f e' iniettiva allora vale 1).
$ Asube f^-1(f(A)) $
Sia $ ainA $. Per definizione la controimmagine di $ f(a) $ e' l'insieme di tutti gli elementi $ x\inX $ tali che $ f(x)=f(a) $ e quindi naturalmente anche a appartiene a $ f^-1(f(a)) $. Nota che la relazione $ Asube f^-1(f(A)) $ vale anche per funzioni non iniettive.
Per dimostrare l'inclusione nell'altro senso $ f^-1(f(A))subeA $ sfrutto invece l'iniettivita'.
Se $ x\inf^-1(f(A)) $ allora $ f(x)\inf(A) $ cioe' $ EEainA $ tale che $ f(x)=f(a) $ ma per l'iniettivita' della funzione $ x=a $.
Se f e' iniettiva allora vale 1).
$ Asube f^-1(f(A)) $
Sia $ ainA $. Per definizione la controimmagine di $ f(a) $ e' l'insieme di tutti gli elementi $ x\inX $ tali che $ f(x)=f(a) $ e quindi naturalmente anche a appartiene a $ f^-1(f(a)) $. Nota che la relazione $ Asube f^-1(f(A)) $ vale anche per funzioni non iniettive.
Per dimostrare l'inclusione nell'altro senso $ f^-1(f(A))subeA $ sfrutto invece l'iniettivita'.
Se $ x\inf^-1(f(A)) $ allora $ f(x)\inf(A) $ cioe' $ EEainA $ tale che $ f(x)=f(a) $ ma per l'iniettivita' della funzione $ x=a $.
È anche immediato dimostrare (1)->(3) o (1)->(4). Infatti \(\displaystyle A\cap B = \bigcup_{x\in A} \{x\}\cap B = \bigcup_{x\in A}\bigcup_{y\in B} \{x\}\cap \{y\} \). Ora (1) dice che \(\displaystyle \{x\}\cap\{y\} = \emptyset \) implica \(\displaystyle \{f(x)\}\cap\{f(y)\} = \emptyset \). Siccome \(\displaystyle \{x\}\cap\{y\} \neq \emptyset \) se e solo se \(\displaystyle x = y \), nello stesso modo si dimostra anche (3). Di fatto (4) è un caso particolare di (3).
In ogni caso (4) implica (1) usando \(\displaystyle A = \{x\} \) e \(\displaystyle B=\{y\} \).
Rimane da connettere (2). Lo faccio usando (4). Siccome vale sempre \(\displaystyle f^{-1}(f(A)) \supseteq A \), allora pongo \(\displaystyle f^{-1}(f(A)) = A\cup B \) con \(\displaystyle B\cap A = \emptyset \) (\(\displaystyle B \) può essere l'insieme vuoto). Ovviamente \(\displaystyle f(f^{-1}(f(A))) = f(A) \), quindi in particolare \(\displaystyle f(B) \subseteq f(A) \). Ma usando (4) ho che \(\displaystyle f(B)\cap f(A) = \emptyset \). Pertanto \(\displaystyle f(B) = B = \emptyset \).
L'ultimo passo lo si può fare con (2)->(3).
In ogni caso (4) implica (1) usando \(\displaystyle A = \{x\} \) e \(\displaystyle B=\{y\} \).
Rimane da connettere (2). Lo faccio usando (4). Siccome vale sempre \(\displaystyle f^{-1}(f(A)) \supseteq A \), allora pongo \(\displaystyle f^{-1}(f(A)) = A\cup B \) con \(\displaystyle B\cap A = \emptyset \) (\(\displaystyle B \) può essere l'insieme vuoto). Ovviamente \(\displaystyle f(f^{-1}(f(A))) = f(A) \), quindi in particolare \(\displaystyle f(B) \subseteq f(A) \). Ma usando (4) ho che \(\displaystyle f(B)\cap f(A) = \emptyset \). Pertanto \(\displaystyle f(B) = B = \emptyset \).
L'ultimo passo lo si può fare con (2)->(3).
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