Funzioni: dominio immagine iniettività

[jollothesmog]

salve, vorrei sapere se i procedimenti fatti da me per risolvere questa traccia sono giusti e se potevate darmi qualche aiutino per terminare.

data la funzione $f$($x$)$=$x+$sqrt(x)$
_trovare il campo di esistenza con dominio provvisorio $RR$
_studiare f(x)=y
_trovare l'Imf
_ $f: C.E. \to Imf$ (f surgettiva)
_ vedere l'iniettivitità:
a) se è iniettiva, è invertibile, si studia e scriva l'inverso
B) f non è iniettiva, si fa una restrizione in modo da rendere invertibile la funzione

allora...
per la condizione di esistenza $f: [0,$\infty$) \to Imf$

ponendo y=f(x) troviamo che anche l'Imagine di f [0,$\infty$)

otteniamo come risultati x= $((2y+1) +- sqrt(4y+1))/(2)$

come restringo per ottenere l'iniettività adesso?

[j18eos]

"jollothesmog":...ponendo y=f(x) troviamo che anche l'Imagine di f [0,$\infty$)

otteniamo come risultati x= $((2y+1) +- sqrt(4y+1))/(2)$...

Non ho capito nulla di tutto ciò!

[jollothesmog]

sto seguendo la traccia, chiede di trovare i risultati della x, che ci serviranno per l'inverso.... ma attuando una restrizione

[cenzo1]

"jollothesmog":otteniamo come risultati x= $((2y+1) +- sqrt(4y+1))/(2)$

come restringo per ottenere l'iniettività adesso?

Direi che la funzione assegnata $f:[0,+\infty) -> [0,+\infty)$ è biettiva dunque non devi fare alcuna restrizione.

L'inversa dovrebbe essere $x=((2y+1) - sqrt(4y+1))/(2)$

[@melia]

Partendo dalla funzione iniziale $y=x+sqrt(x)$ per arrivare a $x= ((2y+1) +- sqrt(4y+1))/(2)$ hai dovuto isolare la radice $y-x=sqrt(x)$ e poi elevare alla seconda, per fare ciò devi imporre la concordanza dei segni, siccome il secondo membro è positivo devi imporre anche la positività del primo membro, quindi hai l'ulteriore condizione $y-x>=0$ che devi mettere a sistema con $x= ((2y+1) +- sqrt(4y+1))/(2)$ e dal quale ricavi che l'unica forma accettabile è $x= ((2y+1) - sqrt(4y+1))/(2)$
Questo per spiegare come cenzo abbia scelto tra le due possibili forme quella esatta.

[cenzo1]

"@melia":Questo per spiegare come cenzo abbia scelto tra le due possibili forme quella esatta.

La spiegazione di @melia è molto più rigorosa.

Per la scelta dell'inversa tra le due opzioni, mi ero basato sul fatto che sia la $f$ che l'inversa dovessero passare per l'origine $O(0,0)$ e tra le due solo quella con segno "-" verifica tale condizione.