Funzioni differenziabili
La funzione $f(x,y)=(0,0)$ se $(x,y)=(0,0)$, $f(x,y)=xylog(x^(2)+y^(2))$ se $(x,y)!=(0,0)$ è differenziabile in$(0,0)$? non riesco a capire come fare, qualcuno pò darmi un suggerimento? grazie!:)
Risposte
Qual è la definizione di funzione differenziabile (in due variabili) ?
Sul mio libro c'è scritta, e direi che c'è anche sul tuo.
Sul mio libro c'è scritta, e direi che c'è anche sul tuo.
Hai provato a verificare se la tua funzione è continua in \((0,0)\)? Come dovresti sapere la differenziabilità implica la continuità, quindi...
per verificare che sia continua ho provato a fare così ma non so se va bene:
$f(x,y)=xylog(x^2+y^2)<=(x^2+y^2)log(x^2+y^2)$
Poniamo $t^2=x^2+y^2$, allora avremo che:
$lim_(t->0) t^2logt^2=lim_(t->0) (logt^2)/t^(-2)=lim_(t->0)-2t^2=0$ dove ho applicato de l'Hopital.
solo che ora per verificare che sia differenziabile devo dimostrare che le derivate $(df)/dx$ e $(df)/dy$ esistono e sono continue in (0,0).. ma non credo che sia la strada giusta.. non c'è un modo più semplice?
$f(x,y)=xylog(x^2+y^2)<=(x^2+y^2)log(x^2+y^2)$
Poniamo $t^2=x^2+y^2$, allora avremo che:
$lim_(t->0) t^2logt^2=lim_(t->0) (logt^2)/t^(-2)=lim_(t->0)-2t^2=0$ dove ho applicato de l'Hopital.
solo che ora per verificare che sia differenziabile devo dimostrare che le derivate $(df)/dx$ e $(df)/dy$ esistono e sono continue in (0,0).. ma non credo che sia la strada giusta.. non c'è un modo più semplice?
Immagino la tua funzione sia $f(x,y)=xylog(x^2+y^2)$ se $(x,y) \ne (0,0)$ e $f(0,0)=0$.
Calcola le derivate parziali nell'origine, usando la definizione (limite del rapporto incrementale). Poi dovresti ricordare la definizione di funzione differenziabile: si tratta di calcolare un altro limite, precisamente devi controllare se
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0+h, y_0+k)-f(x_0,y_0)-h\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0},y_{0})-k\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0},y_{0})}{\sqrt{h^2+k^2}}=0[/tex].
Calcola le derivate parziali nell'origine, usando la definizione (limite del rapporto incrementale). Poi dovresti ricordare la definizione di funzione differenziabile: si tratta di calcolare un altro limite, precisamente devi controllare se
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0+h, y_0+k)-f(x_0,y_0)-h\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0},y_{0})-k\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0},y_{0})}{\sqrt{h^2+k^2}}=0[/tex].
ok ho provato ad applicare questa definizione:
visto che $f(0,0)=0$ e $nablaf(0,0)=0$ il limite diventa:
$lim_(h,k)->(0,0)(f(h,k))/sqrt(h^2+k^2)=lim_((h,k)->(0,0))(hklog(h^2+k^2))/sqrt(h^2+k^2)$
Maggiorando il limite come ho fatto per verificare la continuità e applicando la sostituzione $t^2=h^2+k^2$ ottengo:
$lim_((h,k)->(0,0))(hklog(h^2+k^2))/sqrt(h^2+k^2)=lim_(t->0)|t|log(t^2)=0$ quindi la funzione è differenziabile.
può andare come procedimento? grazie dell'aiuto!
visto che $f(0,0)=0$ e $nablaf(0,0)=0$ il limite diventa:
$lim_(h,k)->(0,0)(f(h,k))/sqrt(h^2+k^2)=lim_((h,k)->(0,0))(hklog(h^2+k^2))/sqrt(h^2+k^2)$
Maggiorando il limite come ho fatto per verificare la continuità e applicando la sostituzione $t^2=h^2+k^2$ ottengo:
$lim_((h,k)->(0,0))(hklog(h^2+k^2))/sqrt(h^2+k^2)=lim_(t->0)|t|log(t^2)=0$ quindi la funzione è differenziabile.
può andare come procedimento? grazie dell'aiuto!
Direi di sì.
Comunque, ricordati che il gradiente è un vettore, quindi $nabla f (0,0) = (0,0)$ e non $0$ come hai scritto tu. Il resto comunque mi pare giusto.
Comunque, ricordati che il gradiente è un vettore, quindi $nabla f (0,0) = (0,0)$ e non $0$ come hai scritto tu. Il resto comunque mi pare giusto.
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